1.4.3 Розв’язання невироджених лінійних систем. Формули Крамера.

Нехай дана система лінійних рівнянь з невідомими :

або в матричній формі

Основна матриця такої системи квадратна. Визначник цієї матриці

називається визначником системи. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система називається невиродженою.

Знайдемо розв'язок даної системи рівнянь у випадку . Помноживши обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо . Оскільки , то . (1.4.1)

Відшукання розв'язку системи за формулою (1.4.1) називається матричним способом розв’язання системи.

Матричну рівність (1.4.1) запишемо у вигляді

тобто .

Звідси випливає, що

Але є розклад визначника

за елементами першого стовпця. Визначник отримується з визначника шляхом заміни першого стовпця коефіцієнтів стовпцем з вільних членів.

Отже, .

Аналогічно : , де отримується з шляхом заміни другого стовпця коефіцієнтами стовпця з вільних членів;

,…, .

Формули (1.4.2) називаються формулами Крамера.

Отже, невироджена система лінійних рівнянь з невідомими має єдиний розв'язок, який може бути знайдений матричним способом (1.4.1) або за формулами Крамера (1.4.2)

Приклад 1.4.3. Розв’язати систему

○ . Значить ●

1.4.4 Розв'язок систем лінійних рівнянь методом Гауса.

Один з найбільш універсальних і ефективних методів розв'язку лінійних алгебраїчних систем являється метод Гауса, що за основу має послідовне виключення невідомих.

Нехай дана система рівнянь:

Процес розв'язку за методом Гауса складається з двох етапів. На першому етапі (прямий хід) система приводиться до драбинчастого (зокрема, трикутного) виду.

Наведена нижче система має драбинчастий вигляд:

де .

Коефіцієнти називаються головними елементами системи.

На другому етапі (зворотній хід) йде послідовне визначення невідомих з цієї драбинчастої системи.

Опишемо метод Гауса докладніше.

Прямий хід .

Будемо вважати, що елемент (якщо , то першим в систему запишемо рівняння, в якому коефіцієнт при відмінний від нуля).

Перетворимо початкову систему, виключивши невідоме в усіх рівняннях, крім першого (використовуючи елементарні перетворення системи). Для цього помножимо обидві частини першого рівняння на і додамо почленно з другим рівнянням системи. Потім помножимо обидві частини першого рівняння на і складемо з третім рівнянням системи. Продовжуючи цей процес, отримаємо еквівалентну систему.

Тут - нові значення коефіцієнтів і правих частин, які отримуються після першого кроку.

Аналогічним чином, вважаючи головним елементом , виключимо невідоме з усіх рівнянь системи, крім першого і другого, і так далі. Продовжуємо цей процес допоки можливо.

Якщо в процесі приведення даної системи до драбинчастого вигляду з'являться нульові рівняння, тобто рівності вигляду 0=0, їх відкидаємо. Якщо ж з'являться рівняння вигляду , то це свідчить про несумісність системи.

Другий етап (зворотній хід ) полягає в розв’язку драбинчастої системи. Драбинчаста система рівнянь, загалом кажучи, має нескінченну множину розв’язків. В останньому рівнянні цієї системи виражаємо перше невідоме через інші невідомі . Потім підставляємо значення в передостаннє рівняння системи і виражаємо через ; потім знаходимо . Надаючи вільним невідомим довільних значень, отримаємо нескінченну множину розв’язків системи.

Зауваження 1. Якщо драбинчаста система виявиться трикутною, тобто , то початкова система має єдиний розв'язок. З останнього рівняння знаходимо , з передостаннього , далі, піднімаючись по системі угору, знайдемо всі інші невідомі. ( ).

2. на практиці зручніше працювати не з системою

,

а з розширеною її матрицею. Виконуючи всі елементарні перетворення над її рядками. Зручно, щоб коефіцієнт дорівнював 1(рівняння поміняти місцями або поділити обидві частини рівняння на ).

Приклад 1.4.4. розв’язати систему методом Гауса:

○ В результаті елементарних перетворень над розширеною матрицею системи

~ ~

~ ~

Початкова система звелася до драбинчастої

.

Тому загальний розв'язок системи : Якщо покласти, наприклад, , то знайдемо один з частинних розв’язків цієї системи ●

Приклад 1.4.5. Розв’язати систему методом Гауса:

○ Проведемо елементарні перетворення над рядками розширеної матриці системи:

~ ~ ~

Отримана матриця відповідає системі

Здійснюючи зворотній хід, отримуємо ●