3.1. Гормон зависимая система транспорта ионов кальция в клетках.

При связывании определенных гормонов с рецепторами на поверхности клетки активируется путь регуляции поступления в клетку ионов Са²⁺ посредством инозитол 1,4,5-трифосфата (IP₃). Данные о потоках кальция в компартментах клетки, которые участвуют в формировании IP₃ - зависимых процессов, приведены на рис. 8 (см. на стр 11 данного текста).

Исследователи часто используют Ca²⁺-чувствительные флуоресцентные индикаторы для наблюдения за цитоплазматическим Ca²⁺ после IP₃ - активации. Всплески Ca²⁺ отражают локальное открывание в эндоплазматическом ретикулуме (ЭР) отдельных Ca²⁺-каналов или их небольших групп, когда IP₃ связывается с рецептором на мембране ЭР.

Поскольку различные Ca²⁺-связывающие белки служат буфером Ca²⁺ и ограничивают диффузию Ca²⁺, сигнал часто остается локализованным в месте входа Ca²⁺ в цитозоль. Однако, если внеклеточный сигнал достаточно силен и продолжителен, этот локальный сигнал Ca²⁺ может распространяться по цитозолю как самоподдерживающаяся волна Ca²⁺, во многом напоминающая потенциал действия в аксоне. За такими всплесками концентрации Ca²⁺ часто следуют следующие всплески, длящиеся обычно несколько секунд. Колебания Ca²⁺ могут продолжаться столько времени, сколько рецепторы на поверхности клетки остаются активированными. Считается, что, по крайней мере, частично, волны и колебания зависят от сочетания положительных и отрицательных обратных связей между кальцием и IP₃-рецепторами и рианодиновыми рецепторами: высвобождаемый Ca²⁺ сначала стимулирует дальнейшее выделение Ca²⁺ обоими рецепторами в процессе, носящем название Ca²⁺-индуцированного высвобождения кальция; но затем, как только его концентрация становится высокой, Ca²⁺ ингибирует высвобождение, и такая отрицательная обратная связь с задержкой приводит к колебаниям.

Наша цель в данной задаче – изучить на модели возможность устойчивых колебаний в системе потов ионов кальция.

3.2. Модель гормональной регуляции потоков ионов кальция в клетке.

Минимальная модель потоков ионов Ca²⁺ в клетке оперирует двумя переменными S₁ для кальция в цитозоле и S₂ в гормон нечувствительном депо (гормон-не-чувствительный пул). На схеме рис. 8 концентрациям S₁ и S₂ соответствуют обозначения Ca²⁺_Cyt и Ca²⁺_депо.

Рис. 9. Схема инозитол (IP₃) зависимых потоков ионов Ca²⁺ в клетке. Обобщение данных, показанных на рис. 7, для формирования минимальной модели потоков ионов кальция. Обозначения метаболитов и скоростей см. в тексте.

Модель включает инозитол (IP₃) зависимые потоки ионов Ca²⁺ на границах компартментов, показанных выше на рис. 8: внеклеточная среда, цитозоль клетки, гормон-чувствительный ЭР и депо гормон-не-чувствительного ЭР. В модели сопоставим этим потокам скорости, формирующие баланс метаболитов S₁ и S₂ .

1. Приток и отток цитозольного кальция через плазматическую мембрану со скоростями v₁ и v₂.

2. Гормонально активируемое высвобождение кальция из внутриклеточного пула, чувствительного к горомону (инозитол-три-фосфат IP₃) (v₃).

3. Активный транспорт цитозольного кальция в гормон-не-чувствительный пул (v₄).

4. Высвобождение кальция из гормон-нечувсвительного пула, которое активируется цитоплазматическим кальцием (механизм Ca²⁺-индуцированного высвобождения кальция, скорость v₅).

5. свободный отток кальция из гормон-не-чувствительного пула в цитозоль (v₆).

Модель состоит из двух дифференциальных уравнений:

(8)

Внеклеточная концентрация Ca²⁺ и значительно превышает цитозольную и полагается постоянной (буфер). Поэтому скорость потока v₁ неизменна. Более того, подробное рассмотрение системы (8) [ссылка] позволяет скорость v₃ считать постоянной и объединить эти две скорости в модели v₀ =v₁ + v₃. Скорость v₃ постоянна по причине быстрого заполнения кальцием гормон-чувствительного депо ЭР. К тому же эта скорость зависит только от величины IP₃ стимула в системе. Поэтому далее в исследовании модели скорость v₀ можно принимать за параметр (интенсивность стимула), определяемый условиями эксперимента по стимулированию клетки.

(9)

Рассмотрим детальные механизмы всех скоростей модели (9), используя для них достаточно простые предположения, как показано в таблице 1.

Таблица 1. Механизмы скоростей, предлагаемые для схемы процессов на рис. 8, 9.

Скорость	Механизм	Процессы, от которых зависит vi
v0	v1 + v3	Утечка по градиенту концентраций на мембранах: плазматической (v1) и гормон-чувствительного ЭР депо (v3). Зависит от интенсивности стимула.
v2	k2S1	Ca-АТФаза за счет гидролиза АТФ выкачивает ионы против градиента концентрации из клетки во внешнюю среду (v2) или в гормон-не чувствительное ЭР депо (v4)
v4	k4S1
v5		Уравнение Хилла. — константа полунасыщения скорости по механизму Михаэлиса-Ментен., n — коэффициент Хилла.
v6	k6S2	Утечка по градиенту концентраций на мембране гормон-не-чувствительного ЭР депо

После подстановки конкретных описаний скоростей v_i получим систему (9) для математической модели внутриклеточных колебаний концентраций кальция.

(10)

С помощью модели (10) можно исследовать поведение системы потоков кальция в зависимости от величины параметра (суммарного поступление кальция через плазматическую мембрану и гормонально активируемого высвобождения кальция из внутриклеточного пула). Окончательно суждение о существовании устойчивых колебаний подтверждается численным интегрированием системы уравнений при условии выбора параметров из диапазона неустойчивости.

Далее выполним задания для подготовки дома и для работы в классе на компьютере с целью исследовать поведение модели (9) в зависимости от величины параметра (суммарного поступление кальция через плазматическую мембрану и гормонально активируемого высвобождения кальция из внутриклеточного пула).

Дополнительное задание. Исследуем систему двух дифференциальных уравнений (8) в общем виде, не детализируя зависимости скоростей v_i от концентраций S₁ и S₂. Указание В стационарном состоянии и Вспомните исследование, проведенное в разделе 1.3.1. и ответьте на Вопрос: «Как должны зависеть скорости системы (9) от переменных модели для того, чтобы в системе могли существовать устойчивые колебания?»

Разумно считать, что скорости v₂ и v₄ двух Ca²⁺/АТФ-зависимых насосов активируются цитозольным кальцием (т.е. зависят от концентрации S₁), в то время как они не зависят от концентрации запасенного кальция S₂. С математической точки зрения это означает, что:

(11)

Для скорости утечки v₆ можно считать, что

(12)

Вполне возможно, что это процесс обратимый, однако формально свободное поступление кальция в гормон-не-чувствительный пул можно учесть в потоке v₄.

Исследуем систему двух дифференциальных уравнений в общем виде, не детализируя зависимости скоростей v_i от концентраций S₁ и S₂.

В стационарном состоянии

Тип особой точки определяем исходя из коэффициентов линеаризованной системы:

, где P и Q — правые части уравнений системы (1). :С учетом соотношений (2) и (3) получаем

Таким образом,

Поскольку нас интересуют ситуация, когда в системе имеют место автоколебания (т.е. существует предельный цикл), выпишем необходимые условия и меняет знак. Поскольку в наших предположениях , то необходимым условием бифуркации Хопфа является неравенство: Далее, для того, чтобы меняла знак, необходимо выполнение неравенства . Это соотношение имеет чрезвычайно важный смысл: оно означает, что в рассматриваемой схеме активация высвобождения кальция из гормон-не-чувствительного пула цитозольным кальцием (наличие положительной обратной связи) — это необходимое условие существования автоколебаний концентраций кальция.

Рис. 8 Схема. Потоки кальция в компартментах клетки.

-11 -

18.11.2020 pages 11;