Малый практикум по биофизике/ Раздел: математическое моделирование биологических процессов

Задача. Модель внутриклеточных колебаний кальция

1. Теоретическое введение. Виды колебательных процессов.

Для биологических систем характерно периодическое изменение различных характеристик. Период этих колебаний может быть связан с периодическими изменениями условий жизни на Земле — смена времен года, смена дня и ночи. Существуют и другие геофизические ритмы — солнечные, лунные, связанные с периодами атмосферных явлений. Но многие периодические процессы имеют частоту изменения, не связанную очевидным образом с внешними геокосмическими циклами. Это процессы колебаний различной природы, начиная от биохимических колебаний, вплоть до популяционных волн.

1.1. Гармонические колебания.

Из курса физики известно, что колебания бывают периодические и непериодические, при этом, существуют способы разложения непериодических колебаний на периодические составляющие. Периодические колебания описывают функцией:

f(t)= f(t+nT) (1),

определяющей повторение характеристик системы во времени. В формуле (1) наименьшее время повторения T  период функции, n  произвольное целое число.

Г

армонические колебания это периодическое движение, которое происходит по закону синуса или косинуса. Важно, что математически всякие колебания могут быть сведены к гармоническим. Известны простые линейные системы (механические, электрические), способные совершать гармонические колебания. Такими являются собственные колебания после начального отклонения от положения равновесия для: шарика на пружине (рис. 1), математического маятника (рис. 2), колебательного контура с сосредоточенными параметрами (контур Томсона, рис. 3).

Р

ис.1. Пружинный маятник. Шарик массой m на пружине с упругостью k скользит без сопротивления по горизонтальному стержню. Из воронки, прикрепленной к шарику, высыпается песок на лист бумаги, который равномерно протягивают под маятником. Получаемая развертка колебаний показывает синусоидальную зависимость от времени смещения шарика x(t). Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника записывают в виде линейного дифференциального уравнения 2-го порядка: .

Рис.2. Математический маятник. Материальная точка подвешена на нерастяжимой нити длины l. Уравнение гармонических колебаний математического маятника:

Р

ис.3. Колебательный контур. При ключе в положении 1 происходит зарядки конденсатора, затем ключ в положении 2 замкнет контур Томсона. Конденсатор емкостью C будет последовательно разряжаться или заряжаться через катушку индуктивности L. Уравнение гармонических колебаний в контуре Томсона для заряда Q на конденсаторе:

На рис. 1, 2, 3 показаны консервативные системы, гармонические колебания в которых происходят без потерь энергии. При этом исходное отклонение от равновесия определяет запас (уровень) энергии системы. Для совершения гармонических колебаний в любой системе должны действовать упругие (квазиупругие) силы, пропорциональные смещению и направленные к положению равновесия. Для того, чтобы пройти положение равновесия система должна обладать инертностью (массой, моментом инерции, индуктивностью). При отсутствии потерь такая система является линейной и, будучи выведенной из положения равновесия, совершает незатухающие гармонические колебания, уравнение которых имеет форму, общую для уравнений на рис. (1), (2), (3):

(2)

Решение уравнения (2) задает движение по закону гармонических колебаний :

x(t)=Asin(₀t+₀) (3)

с

периодом колебаний T₀=2/₀. и фазой колебаний ₀t+₀. На рис. 4 изображена зависимость x(t).

Рис. 4. График гармонических колебаний. Функция (2) является решением уравнений, данных в подписях к рис. 1, 2, 3. Показана зависимость смещения «x» от времени для периода колебаний, равного T=1 с. Начальная фаза (₀) равна 0 для графика 1 и /6=30 – для графика 2. Амплитуда «A» колебаний определяет максимальную величину смещения и одинакова для двух графиков.