Практические задания

Построить графики функции:

1. y=x ln x. 8)

2. y=(x-1)e^x. 9)

3. 10)

4. 11)

5. 12)

6. 13)

7. 14)

Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется возрастающей? Убывающей?

2. Сформулируйте условия возрастания и убывания функции.

3. Что называется стационарной точкой? Критической точкой первого?

4. Сформулируйте первое достаточное условие существования экстремума.

5. Сформулируйте теорему Ферма.

6. Сформулируйте необходимое условие наличия точки перегиба

7. Алгоритм исследования и построения графика функции.

Практическая работа №6

« Неопределенный интгерал»

Цель работы: Сформировать навыки нахождения неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования, замены переменной, интегрирования по частям.

Теоретическая часть.

Пусть функция у=F(х) (1) имеет производную f(x), тогда ее дифференциал

dy=f(x)dx.

Функция (1) по отношению к ее дифференциалу называется первообразной.

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F(x) = f(x).

  Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке X, называется неопределенным интегралов от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом ∫f(x)dx.

,

где С – некоторая постоянная.

Определение 3. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из любой другой кривой параллельным переносом вдоль оси Oy.

Свойства неопределенного интеграла

1) (∫f(x)dx)′ =f(x). 4) .

2) d . 5) .

3) .

Таблица некоторых интегралов

1) , 10)

2) , 11)

3) 12)

4) 13)

5) 14)

6) 15)

7) 16)

8) 17)

9) 18)

Практическая часть

Непосредственное интегрирование

Этот метод в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Пример 1.

Решение. Применим правило интегрирования (4) и (5), а также табличные интегралы (1) и (2):

.

Пример 2.

Решение. Применим табличный интерал (14), предворительно преобразав подинтегральное выражение.

.

Замена переменной

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

Пример 3. (3x-5)⁷dx

Решение. Положим, 3х-5=t, тогда 3dx=dt, dx=1/3dt. Следовательно,

(3x-5)⁷dx= t⁷∙ dt=

Пример 4.

Решение. sin⁵x dx= sin⁴x∙sin xdx= (1-cos²x)²∙sin xdx.

Положим, cos x=t, тогда -sin xdx=dt, или sin xdx= -dt. Следовательно,

sin⁵dx= - (1-t²)²dt= - (1-2t²+t⁴)dt= -t+2/3t³-1/5t⁵+C.

Пример 5. Найти неопределенный интеграл: .

Решение. .

Интегрирование по частям.

  Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

 

Проинтегрировав, получаем: ,

 или ;

  Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

 

Пример 6.  .

Решение.

 Пример 7. .

Решение.

.

Как видно, нужно еще раз применить интегрирование по частям:

.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

  Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Практическая работа

Интегралы 1-3 найдите непосредственным интегрированием.

Интегралы 4-6 найдите подстановкой.

Интегралы 7-8 найдите интегрированием по частям.

В-1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10
Вариант 11	Вариант 12
Вариант 13	Вариант 14

Контрольные вопросы:

1. Что называется первообразной функции?

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. В чем заключается геометрический смысл неопределенного интеграла?

4. Свойства неопределенного интеграла.

5. В чем заключается смысл замены переменной в неопределенном интеграле?

6. В чем заключается смысл интегрирования по частям?

Практическая работа № 7

«Вычисление определенного интеграла».

Цель: сформировать навыки вычисления определенного интеграла.

Теоретическая часть

Пусть функция F(x) является первообразной для функции f(x) в некотором промежутке Х, а числа а и b принадлежат этому промежутку.

Определение. Приращение F(b)-F(a) любой из первообразных функции F(x)+C при изменении аргумента от х=а до х=b называется определенным интегралом от а до b функции f(x) и обозначается .

– формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов. Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Интегрирование по частям.

Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла

1)

2)

3) Если то

4)

Практическая часть

Пример 1. Вычислить определённый интеграл

Решение.

Пример 2.

Решение. Решим методом подстановки. Пусть , тогда 2xdx=dt, xdx=1/2dt. Найдём новые пределы интегрирования, подставляя в равенство значения a=-1, b=2. , . Следовательно,

Пример 3.

Решение. Интегрируем по частям.

Практические задания

Вычислите интегралы:

1 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.	2 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.
3 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.	4 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.

5 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.	6 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.
7 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.	8 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.
9 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.	10 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.
11 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.	12 вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Контрольные вопросы:

1. Что такое определенный интеграл?

2. Зависит ли значение определенного интеграла от выбора первообразной?

3. Чему равен определенный интеграл, если a=b?

4. Сформулируйте свойства определенного интеграла.

Практическая работа №8

«Приложение определенного интеграла»

Цель работы: Научится применять определенный интеграл для нахождения площади плоских фигур, объема тел вращения, пройденного телом пути, работу силы .

Теоретическая часть

Определенный интеграл широко применяется для нахождения различных физических и геометрических величин. Рассмотрим несколько задач.