Задача №1.16

На входе дискретизатора действует сигнал , где F₁=1 МГц, F₂ = 2 МГц. Частота дискретизации F_Д = 8 МГц. Чему равен максимальный частотный разнос между соседними составляющими спектра дискретного сигнала?

Задача №1.17

На рисунке 1.13 а показан спектр аналогового сигнала с минимальной частотой F_min = 1 МГц, с максимальной частотой F_max = 4 МГц. Частота дискретизации равна F_Д = 10 МГц. Начертите в относительном масштабе (по оси ординат) спектр дискретного сигнала в интервале частот от нуля до 25 МГц.

Рисунок 1.13 – Спектр сигнала на входе дискретизатора

Задача №1.18

На рисунке 1.14 показан спектр сигнала на входе дискретизатора. Каков частотный разнос между соседними сгустками спектра дискретного сигнала, если частота дискретизации равна 8 МГц?

Рисунок 1.14 - Спектр сигнала на входе дискретизатора

Задача №1.19

На рисунке 1.15 показан спектр сигнала на входе дискретизатора. Частота дискретизации равна13 МГц. Укажите граничные частоты спектра дискретного сигнала в интервале частот от нуля до половины частоты дискретизации.

Рисунок 1.15 - Спектр сигнала на входе дискретизатора

Задача №1.20

На рисунке 1.16 показан спектр сигнала на входе дискретизатора. Каков минимальный частотный разнос между соседними сгустками спектра дискретного сигнала, если частота дискретизации равна 7 МГц?

Рисунок 1.16 - Спектр сигнала на входе дискретизатора

Задача №1.21

Возникнет ли эффект наложения спектров при дискретизации сигнала если F=1 МГц, а частота дискретизации равна 5 МГц?

Задача №1.22

Сигнал поступает на вход дискретизатора через фильтр, АЧХ которого приведена на рисунке 1.17. Возникнет ли эффект наложения спектров, если частота дискретизации равна 16 кГц?

Рисунок 1.17 – АЧХ фильтра, ограничивающего спектр сигнала на входе дискретизатора

Задача №1.23

На рисунке 1.18 показан спектр сигнала на входе дискретизатора. Частота дискретизации равна 16 кГц. Определите спектр сигнала на выходе дискретизатора в интервале частот от нуля до половины частоты дискретизации.

Рисунок 1.18 – Спектр сигнала на входе дискретизатора

Задача №1.24

На рисунке 1.19 представлен спектр аналогового сигнала на входе дискретизатора. Частота дискретизации равна 7 МГц. Чему равна частота спектральной составляющей дискретного сигнала, ближайшей справа к составляющей на частоте 3 МГц?

Рисунок 1.19 – Спектр сигнала на входе дискретизатора

2. Z – преобразование и его свойства

0. Прямое Z – преобразование

Прямым Z-преобразованием дискретной последовательности x_n, где n = 0,1, 2.., называется функция комплексной переменной z, определяемая следующим соотношением

. (2.1)

Функция определена для тех значений z, при которых ряд сходится.

Здесь и в дальнейшем последовательность отсчётов обозначается строчной, а ее Z-преобразование той же прописной буквой.

Соотношение (2.1) определяет одностороннее Z-преобразование. Двустороннее Z-преобразование отличается от одностороннего тем, что нижним пределом суммирования является бесконечность.

Рассмотрим основные свойства прямого Z-преобразования.

1. Линейность. Пусть последовательность y_n представляет взвешенную сумму двух последовательностей x_1n и

x_{2 n}

,

где постоянные весовые коэффициенты.

Тогда Z-преобразование последовательности y_n определяется следующим соотношением

. (2.2)

Таким образом, Z-преобразование взвешенной суммы двух последовательностей равно взвешенной сумме Z-преобразований этих последовательностей.

2. Сдвиг последовательностей. Пусть последовательность y_n представляет собой задержанную на m отсчетов последовательность x_n (рисунок 2.1)

.

Рисунок 2.1 – Последовательность y_n задержана

относительно x_n на 2 отсчета (2 интервала дискретизации)

Тогда Z-преобразование Y(z) последовательности y_n выражается через Z-преобразование X(z) последовательности x_n следующим образом

. (2.3)

Таким образом, Z-преобразование последовательности, задержанной относительно исходной на m отсчетов, равно Z-преобразованию исходной последовательности, умноженной на z ^–m.

3. Дискретная свертка двух последовательностей. Дискретной сверткой двух последовательностей x_n и h_n называется последовательность y_n, определяемая следующим соотношением

. (2.4)

Z - преобразование Y(z) дискретной свертки y_n двух последовательностей равно произведению Z -преобразований H(z) и X(z) исходных последовательностей h_n и x_n

, (2.5)

где .

Задача № 2.1

Определите Z-преобразование Y(z) дискретной свертки y_n двух последовательностей и радиус сходимости Z -преобразования

и

где

Решение задачи № 2.1

Определим Z – преобразование последовательности x_n.

В приведенном соотношении при представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна , где а₀ –первый член прогрессии, q –знаменатель прогрессии.

В данном примере

На рисунке 2.2 заштрихована область сходимости X(z).

Область сходимости ограничена окружностью . Радиус этой окружности r₀ =1 является радиусом сходимости X(z).

Определим Z – преобразование последовательности h_n.

Для H(z) радиус сходимости равен

Рисунок 2.2

Определим Z – преобразование дискретной свертки y_n.

Радиус сходимости Y(z) равен наибольшему из радиусов сходимости X(z) и H(z), т.е. единице.

Задача №2.2

Определите Z-преобразование сигнала на выходе линии задержки, содержащей 5 элементов, если на её входе действует сигнал

Определите сигнал на выходе линии задержки.

Решение задачи №2.2

Z - преобразование сигнала x_n определяется соотношением.

Z - преобразование последовательности, сдвинутой относительно исходной на 5 отсчетов, равно Z - преобразованию исходной последовательности, умноженной на z^-5.

Поэтому Z – преобразование выходного сигнала

Поскольку коэффициенты полученного полинома Y(z) являются ненулевыми отсчетами сигнала y_n, то y₅ = 1,

y₆ = 2, y₇ = 3, y₈ = 4. Остальные отсчеты равны нулю.

Задача №2.3

Определите Z - преобразование дискретного сигнала

где , - частота, T_Д – интервал дискретизации,

Решение задачи №2.3

Учтем, что

Тогда

Поскольку и то при выражения в скобках представляют собой знаменатели бесконечно убывающих геометрических прогрессий.

Поэтому

Задача №2.4

Определите Z-преобразование свертки y_n дискретных сигналов

Решение задачи №2.4

Найдем Z-преобразование сигнала x_n,

Найдем Z-преобразование сигнала h_n

Вычислим Z-преобразование свертки сигналов x_n и y_n, используя теорему о свертке

 

Задача №2.5

Найдите Z-преобразование последовательности конечной длины N

Решение задачи № 2.5

В приведенном соотношении представляет собой сумму N членов геометрической прогрессии со знаменателем и определяется по формуле

где a₀ – первый член прогрессии, a_N-1 – последний, q – знаменатель прогрессии.

Задача №2.6

На рисунке 2.3 приведены временные диаграммы сигнала x_n и дискретной свертки y_n сигналов x_n и h_n. Приведите временную диаграмму сигнала h_n.

Рисунок 2.3

Решение задачи № 2.6

Определим Z – преобразование последовательностей x_n, y_n и h_n.

В общем случае Z – преобразование последовательности отсчетов сигнала h_n определяется соотношением

Следовательно, коэффициент полинома H(z) при z ^-n является отсчетом h_n данной последовательности.

При имеем: h₀ = 1, h₁= -1. Временная диаграмма сигнала приведена на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4

Задача №2.7

Выразите Z – преобразование Y(z) выходного сигнала y_n фильтра рисунка 2.5 через Z – преобразование X(z) входного сигнала x_n этого фильтра.

Рисунок 2.5 – Графическое представление алгоритма

функционирования цифрового фильтра

Решение задачи №2.7

Отсчеты сигналов на выходах сумматоров определяются следующими соотношениями:

Воспользовавшись свойствами Z-преобразования, перейдем от разностных уравнений к уравнениям для Z-преобразований дискретных сигналов v_n, x_n, y_n

Выразим Y(z) через X(z)

, .

Задача №2.8

Определите Z – преобразованиеY(z) дискретной свертки последовательностей

Решение задачи 2.8

Найдем Z – преобразование последовательности x_n

Последнее соотношение справедливо при , т.к. при сумму можно рассматривать как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Найдем Z – преобразование последовательности h_n

Определите Z – преобразование дискретной свертки