5. Устойчивость цифровых фильтров

Цифровой фильтр считается устойчивым, если при ограниченном входном воздействии его выходной сигнал также ограничен.

Для оценки устойчивости можно воспользоваться одним из двух приведенных ниже критериев.

1. Критерий оценки устойчивости по импульсной характеристике фильтра

Цифровой фильтр устойчив, если сумма абсолютных значений отсчетов его импульсной характеристики конечна

Из этого критерия следует, что все фильтры с конечной импульсной характеристикой абсолютно устойчивы.

2. Критерий оценки устойчивости по системной функции фильтра

Цифровой фильтр устойчив, если полюсы системной функции располагаются внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат ( ).

Задача №5.1

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

.

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости фильтра.

Решение задачи №5.1

Цифровой фильтр устойчив, если сумма абсолютных значений отсчетов импульсной характеристики конечна.

Коэффициенты системной функции нерекурсивного цифрового фильтра – это отсчеты его импульсной характеристики.

В данном случае сумма абсолютных значений коэффициентов системной функции равна 1+1+1+5+1+1+1=11.

Следовательно, фильтр устойчив.

Задача № 5.2

Импульсная характеристика цифрового фильтра описывается соотношением

где .

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости фильтра.

Решение задачи №5.2:

Определим сумму абсолютных значений отсчетов импульсной характеристики

Следовательно, фильтр устойчив.

Задача №5.3

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра рисунка 5.1, если A1₁= 0.1, A2₁= 0.9, A1₂= - 0.1, A2₂=1.1.

Рисунок 5.1

Решение задачи №5.3

Цифровой фильтр выполнен в виде последовательного соединения двух звеньев второго порядка.

Системная функция фильтра определяется соотношением

,

где

Проверяем устойчивость каждого звена.

Звено №1

Определим полюсы системной функции H₁(z)

или

,

.

Следовательно, первое звено устойчиво.

Звено №2

Определим полюсы системной функции H₂(z)

или

Следовательно, второе звено не устойчиво.

Вывод: фильтр не устойчив.

Задача №5.4

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра, если его импульсная характеристика выражается соотношением

где a = 0.5.

Решение задачи №5.4

Определим сумму абсолютных значений отсчетов бесконечной импульсной характеристики

Так как эта сумма конечна, цифровой фильтр устойчив.

Комплект задач для самостоятельного решения по теме «Устойчивость цифровых фильтров»

Задача №5.5

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра рисунка 5.2 при A1₁= 0.9, A1₂ = -0.9,

A1₃ =1.1.

Рисунок 5.2

Задача №5.6

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра рисунка 5.3 при A2 = 0.9

Рисунок 5.3

Задача №5.7

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости фильтра.

Задача №5.8

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра рисунка 5.4, если А1=2.5, А2 = 0.9.

Рисунок 5.4

Задача №5.9

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра рисунка 5.5, если А1= - 0.5, А2 = 0.9.

Рисунок 5.5

Задача №5.10

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифровой цепи рисунка 5.6, если а =1.1.

Рисунок 5.6

Задача №5.11

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра рисунка 5.7, если А1₁= - 0.50,

А1₂ = -1.70, А2 = 0.72.

Рисунок 5.7

Задача №5.12

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости фильтра.

Задача №5.13

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра рисунка 5.8, где А= 0.9.

Рисунок 5.8

Задача №5.14

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра, если его системная функция описывается соотношением

Коэффициент А₂ = 0.9.

Задача №5.15

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра рисунка 5.9 при A₂= 1.5.

Рисунок 5.9

Задача №5.16

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости фильтра.

Задача №5.17

На рисунке 5.10 приведена импульсная характеристика цифрового фильтра. Её ненулевые отсчеты равны:

h₀ = h₄ =1, h₁= h₃ =1.8, h₂ = 2.5.

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости фильтра.

Рисунок 5.10

Задача №5.18

На рисунке 5.11 приведена импульсная характеристика цифрового фильтра. Её ненулевые отсчеты равны:

h₀ = h₄ =1, h₁= h₃ = -1.8, h₂ = 2.5.

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости фильтра.

Рисунок 5.11

Задача №5.19

Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением

Коэффициент А₁ = -2.

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости фильтра.

Задача №5.20

Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением

Коэффициенты системной функции равны: А₁ = -1,

A₂ = 1.9.

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости фильтра.

Задача №5.21

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости фильтра, если N=10.

Задача №5.22

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра, системная функция которого описывается соотношением

где A1₁= -0.50, A2₁= 0.95, A1₂= 0.50, A2₂= 0.95 .

Задача №5.23

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра, системная функция которого описывается соотношением

где A1₁=-0.50, A2₁= 0.95, A1₂= 0.50, A2₂= 1.05 .

Задача №5.24

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра, системная функция которого описывается соотношением

где A1₁=-0.50, A1₂= 0.95, A1₃= 0.50, A1₄= -0.95 .

Задача №5.25

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифровой цепи рисунка 5.12, если а =1.1, b= 0.1

Рисунок 5.12

Задача №5.26

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра, если его импульсная характеристика выражается соотношением

где α = 0.1.

Задача №5.27

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости фильтра, если N=10.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Система обозначений операций цифровой обработки

сигналов

Принято алгоритмы ЦОС представлять в наглядной графической форме с использованием системы обозначений, приведенной на рисунке П 1.

Рисунок П. 1

Ответы к некоторым задачам

Оглавление

Методическое письмо…………………………………….3