- •Дискретизация непрерывных сигналов
- •Комплект задач для самостоятельного решения по теме «Дискретизация непрерывных сигналов»
- •Задача №1.14
- •Задача №1.15
- •Задача №1.16
- •Комплект задач для самостоятельного решения по теме «Прямое z - преобразование»
- •Комплект задач для самостоятельного решения по теме «Обратное z - преобразование»
- •И мпульсная характеристика и системная
- •Комплект задач для самостоятельного решения по теме «и мпульсная характеристика и системная функция цифрового фильтра»
- •Комплексный коэффициент передачи,
- •Комплект задач для самостоятельного решения
- •Ачх и фчх цифрового фильтра»
- •Устойчивость цифровых фильтров
- •Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением
- •Задача № 5.2
- •Комплект задач для самостоятельного решения по теме «Устойчивость цифровых фильтров»
- •1. Дискретизация непрерывных сигналов………………4
Комплект задач для самостоятельного решения по теме «Прямое z - преобразование»
Задача №2.9
Найти z-преобразование дискретного сигнала
,
где ,
Задача №2.10
Найти z-преобразование дискретного сигнала
,
где ,
Задача №2.11
Найти z-преобразование дискретного сигнала
,
где ,
Задача №2.12
Найти z-преобразование дискретного сигнала
.
Задача №2.13
Найти z-преобразование дискретного сигнала
.
Задача №2.14
Найти z-преобразование дискретного сигнала
.
Задача №2.15
Найти z-преобразование дискретного сигнала
.
Задача №2.16
Определить радиус сходимости для z-преобразования дискретного сигнала
Задача №2.17
Найти z-преобразование и радиус сходимости
дискретного сигнала при ,
Задача №2.18
Найти z-преобразование знакопостоянной убывающей дискретной экспоненты
, где Задача №2.19
Найти z-преобразование знакопеременной убывающей дискретной экспоненты
, где
Задача №2.20
Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала yn фильтра рисунка 2.6 через Z –преобразование X(z) входного сигнала xn .
Рисунок 2.6
Задача №2.21
Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала yn фильтра рисунка 2.7 через Z –преобразование X(z) входного сигнала xn .
Рисунок 2.7
Задача №2.22
Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала yn фильтра рисунка 2.8 через Z –преобразование X(z) входного сигнала xn .
Рисунок 2.8
Задача № 2.23
Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала yn фильтра рисунка 2.9 через Z –преобразование X(z) входного сигнала xn .
Рисунок 2.9
Задача №2.24
Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала фильтра рисунка 2.10 yn через Z –преобразование X(z) входного сигнала xn .
Рисунок 2.10
Задача №2.25
Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала yn цифровой линии задержки рисунка 2.11 через Z – преобразование X(z) входного сигнала xn
Рисунок 2.11
Задача №2.26
Найдите Z-преобразование дискретного сигнала
Задача №2.27
Найдите Z-преобразование сигнала
если
Задача №2.28
Начертите временную диаграмму дискретной свертки yn сигналов
Задача №2.29
Определите Z-преобразование сигнала на выходе фильтра рисунка 2.12, если на его входе действует сигнал
Рисунок 2.12
Задача №2.30
На входе цифровой цепи рисунка 2.13 действует сигнал
Определите Z – преобразование выходного сигнала yn.
Рисунок 2.13
Задача №2.31
Определите Z-преобразование сигнала на выходе фильтра рисунка 2.14, если на его входе действует сигнал
Рисунок 2.14
Обратное Z – преобразование
Обратное Z – преобразование определяется соотношением
Интеграл от функции комплексной переменной , взятый по замкнутому контуру С, содержащемуся в области, где функция является однозначной и аналитической, за исключением особых точек однозначного характера, и не проходящему через особые точки, равен произведению суммы вычетов относительно всех особых точек, заключенных внутри С, на 2πj.
Если функция f(z) = (z) / (z) и (z) имеет простой нуль при z = a, то
Выч.f(z) = (a) / ‘(а),
где ‘(z) - производная функции (z).
Если f(z) функция имеет более одного простого полюса, то её следует представить в виде суммы дробей с знаменателями , где - простые полюсы функции.
Если функция f(z) = (z) / (z) и (z) имеет нуль кратности m при z = a, то вычет определяется по формуле
Задача №2.32
Требуется найти дискретный сигнал xn, если его Z-преобразование определяется соотношением
Решение задачи №2.32
Воспользуемся формулой обратного Z –преобразования
Представим подинтегральную функцию в виде отношения функций , где , а Функция имеет простой нуль . Поэтому
Поскольку используется одностороннее Z - преобразование, то
Задача №2.33
Требуется найти дискретный сигнал xn, если его Z-преобразование определяется соотношением
Решение задачи №2.33
На основании свойства линейности Z – преобразования можно записать
где
Следовательно,
Поскольку Z – преобразование сигнала x2n равно Z – преобразованию сигнала x1n, умноженному на z-N, то x2n представляет собой задержанный на N отсчетов сигнал x1n
Таким образом,
Определим сигналы x1n и x2n
Определим сигнал
Задача №2.34
Постройте временную диаграмму сигнала xn, если его Z – преобразование определяется соотношением
Решение задачи №2.34
Из выражения для прямого Z – преобразования X(z) последовательности отсчетов конечной длины xn следует, что коэффициенты полинома являются отсчетами сигнала, причем порядковый номер отсчета n равен абсолютной величине показателя степени комплексной переменной z.
Временная диаграмма сигнала xn приведена на рисунке 2.15
Рисунок 2.15 – Временная диаграмма сигнала xn
Задача №2.35
Требуется найти дискретный сигнал xn, если его Z-преобразование определяется соотношением
.
Решение задачи №2.35
Представим полином в знаменателе в виде произведения линейных двучленов. Для этого определим корни уравнения
.
.
Тогда
.
Представим функцию в виде суммы двух функций с двучленом в знаменателе первой и двучленом в знаменателе второй.
Для этого воспользуемся методом неопределенных коэффициентов M и N:
(2.6)
Откуда
Из двух последних соотношений получим
.
Коэффициенты M и N можно найти и другим способом.
Для определения M умножим левую и правую части уравнения (2.6) на z-z1 и найдем пределы функций в левой и правой частях уравнения при
Откуда
Для определения N умножим левую и правую части уравнения (2.6) на z-z2 и найдем пределы функций в левой и правой частях уравнения при
Откуда
Таким образом
.
Определим дискретный сигнал, воспользовавшись обратным Z-преобразованием
Случай 1.
.
, где .
Подставим в последнее соотношение z1 и z2 в показательной форме
На рисунке 2.16 приведена временная диаграмма сигнала при A1= -1.5, A2=0.9.
Сигнал представляет собой затухающее гармоническое колебание.
Рисунок 2.16 – Затухающее гармоническое колебание
Случай 2:
При этом - действительные числа.
Тогда
.
Пусть A1= -1.40, A2 =0.45. Тогда a = 0.9, b = 0.5.
На рисунке 2.17 приведена временная диаграмма сигнала
Рисунок 2.17 –Апериодический сигнал
Пусть A1= 1.40, A2 =0.45. Тогда a = -0.5, b = -0.9.
На рисунке 2.18 приведена временная диаграмма сигнала
Рисунок 2.18 – Знакопеременное затухающее
колебание
Случай 3: .
Тогда .
Воспользуемся формулой обратного Z-преобразования
.
В случае кратных полюсов вычет определяется по формуле
В рассматриваемом случае .
Так как полюс кратности m = 2, то
Пусть A1= - 1.8, тогда
Временная диаграмма сигнала приведена на рисунке 2.19.
Рисунок 2.19 – Апериодический сигнал
Пусть A1=1.8, тогда
Временная диаграмма сигнала приведена на рисунке 2.20.
Рисунок 2.20 – Знакопеременное затухающее колебание
Задача №2.36
Z-преобразование дискретного сигнала xn определяется соотношением
Постройте временную диаграмму сигнала xn с нулевого по десятый отсчет включительно.
Решение задачи №2.36
Представим функцию в виде cуммы двух функций с двучленом в знаменателе первой и двучленом в знаменателе второй
Откуда
Из двух последних соотношений получим
Следовательно,
Определим сигнал xn
Временная диаграмма сигнала приведена на рисунке 2.21.
Рисунок 2.21 – Временная диаграмма сигнала xn
\