![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Тема 1. Механічні коливання
- •Задача 1.4
- •Розв’язування 1.4
- •Задача 1.5
- •Розв’язування 1.5
- •Задача 1.6
- •Розв’язування 1.6
- •Задача 1.7
- •Розв’язування 1.7
- •Задача 1.8
- •Розв’язування 1.8
- •Задача 1.9
- •Розв’язування 1.9
- •Задача 1.10
- •Розв’язування 1.10
- •Задача 1.11
- •Розв’язування 1.11
- •Задача 1.12
- •Розв’язування 1.12
- •Задача 1.13
- •Розв’язування 1.13
Задача 1.10
Ареометр масою
кг з циліндричною трубкою радіусом
см плаває в розчині сірчаної кислоти і
показує, що густина розчину
.
Якщо змістити прилад по вертикалі на
малу величину і відпустити, то він почне
коливатися. Визначити період Т цих
коливань, вважаючи їх незгасаючими.
Визначити залежність
при
Побудувати графік.
Розв’язування 1.10
На ареометр, який плаває в рідині, діють дві сили: сила ваги
(1)
і архімедова виштовхувальна сила, що рівна вазі рідини, яку витіснило тіло (ареометр):
(2)
де
– об’єм витісненої рідини, рівний
об’єму зануреної частини ареометра.
Якщо ареометр знаходиться в рівновазі, то прикладені до нього сили будуть рівні за величиною і протилежні за напрямом. Прийнявши напрямок «вниз» за додатній, отримаємо:
(3)
Якщо ареометр змістити від положення рівноваги по вертикалі на величину х (х – алгебраїчна величина), то величина виштовхувальної сили зміниться, оскільки змінюється об’єм зануреної частини приладу. В цьому випадку рівнодійна сили тяжіння і архімедової сили буде напрямлена по вертикалі догори і надаватиме тілу прискорення а. За другим законом Ньютона, маємо
(4)
де
– зміна об’єму зануреної частини
приладу., Оскільки
,
то
(5)
Врахувавши, що
і
,
отримуємо диференційне рівняння:
(6)
де
=
const
(7)
Розв’язком такого рівняння є
(8)
де величина
(9)
є циклічною частотою коливань.
Тоді період коливань:
Т, с
=
(10)
Г
Рис.
Задача 1.11
Ареометр масою
кг з радіусом трубки
см заставляють коливатись в рідині
густиною
по вертикалі, надаючи йому початкове
невелике зміщення. За час
с ареометр здійснює 10 коливань. Визначити
коефіцієнт опору середовища
при коливанні ареометра і коефіцієнт
згасання
,
а також
.
Рух рідини не враховувати.
Розв’язування 1.11
Оскільки в цьому випадку на ареометр,
крім сили тяжіння (
)
і сили Архімеда (
),
діє ще і сила опору середовища (
),
напрямлена проти зміщення, то рівняння
руху тіла матиме вигляд:
(1)
або (див. задачу 1.10):
(2)
Воно має такий вигляд, як і рівняння руху тіла, що здійснює згасаючі гармонічні коливання:
(3)
Отже, ареометр здійснює затухаючі гармонічні коливання:
,
(4)
де
(5)
– коефіцієнт згасання. Циклічна частота цих коливань визначається рівнянням:
(6)
де
– власна частота коливань.
Враховуючи, що
(7)
а також вирази для обчислення коефіцієнта
згасання (5) і власної частоти коливань
(задача 1.10.), рівняння (6) можна записати
у вигляді:
(8)
Звідси знайдемо коефіцієнт опору середовища
(9)
Перевіримо розмірність і розрахуємо його значення.
;
;
2. Коефіцієнт згасання (5):
3. Логарифмічний декремент згасання
:
4. Число коливань
,
після яких амплітуда коливань зменшиться
в е-раз:
5. Час
,
протягом якого амплітуда коливань
зменшиться в е-раз:
6. Добротність коливальної системи: