![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Тема 1. Механічні коливання
- •Задача 1.4
- •Розв’язування 1.4
- •Задача 1.5
- •Розв’язування 1.5
- •Задача 1.6
- •Розв’язування 1.6
- •Задача 1.7
- •Розв’язування 1.7
- •Задача 1.8
- •Розв’язування 1.8
- •Задача 1.9
- •Розв’язування 1.9
- •Задача 1.10
- •Розв’язування 1.10
- •Задача 1.11
- •Розв’язування 1.11
- •Задача 1.12
- •Розв’язування 1.12
- •Задача 1.13
- •Розв’язування 1.13
Задача 1.7
Матеріальна точка бере участь у двох
взаємно перпендикулярних коливаннях,
які задаються рівняннями:
м;
м. Знайти рівняння траєкторії руху точки
і побудувати її графік. Показати напрям
руху точки. Визначити швидкість і
прискорення точки в момент часу
с.
Розв’язування 1.7
Виключаючи з заданих рівнянь, отримаємо рівняння траєкторії руху точки:
;
(1)
(2)
(3)
Р
івняння
(3) представляє собою канонічне рівняння
еліпса з півосями
м;
м
(рис. ).
Щоб визначити напрям руху точки, з
рівнянь (1) знайдемо її координати в
момент часу
:
;
(4)
тобто в початковий момент часу точка знаходиться в положенні А. Із збільшенням координата х також збільшуватиметься, тому точка рухається проти годинникової стрілки.
Швидкість точки
під час її руху вздовж еліпса дорівнює
векторній сумі швидкостей
і
.
Якщо коливання взаємно перпендикулярні,
то
(5)
Знайдемо і з рівнянь (1):
;
(6)
Тоді
(7)
Аналогічно
(8)
;
(9)
(10)
В момент часу с, отримаємо:
с;
м/с2
Задача 1.8
Диференційне рівняння руху кулі
математичного маятника має вигляд
.
Якщо
,
то період коливань Т задається рівнянням
;
при
,
період коливань
.
Визначити для яких кутів
період
не перевищує період Т в 1,01 раз.
Розв’язування 1.8
1. метод. Оскільки має виконуватись
нерівність
,
потрібно розв’язати тригонометричну
нерівність:
(1)
(2)
Поклавши
,
отримаємо нерівність:
,
(3)
розв’язком якої є
.
Звідси
,
оскільки кут
для математичного маятника змінюється
від
до
.
2. метод. Розв’язати задачу можна, побудувавши графік залежності
=
(4)
в межах від до , по точках, розрахованих за формулою (4) з кроком в 5о (див. табл.), або в будь-якій з комп’ютерних програм (наприклад, Origin).
Через точку
проводимо паралельну осі абсцис
лінію, з точок її перетину з кривою
опускаємо перпендикуляри на
вість абсцис і визначаємо
(див. рис.).
, град |
|
-90 |
1,160156 |
-85 |
1,143401 |
-80 |
1,127301 |
-75 |
1,111961 |
-70 |
1,097468 |
-65 |
1,083893 |
-60 |
1,071289 |
-55 |
1,059696 |
-50 |
1,049138 |
-45 |
1,039628 |
-40 |
1,031169 |
-35 |
1,023756 |
-30 |
1,017378 |
-25 |
1,01202 |
-20 |
1,007666 |
-15 |
1,0043 |
-10 |
1,001907 |
-5 |
1,000476 |
0 |
|
5 |
1,000476 |
10 |
1,001907 |
15 |
1,0043 |
20 |
1,007666 |
25 |
1,01202 |
30 |
1,017378 |
35 |
1,023756 |
40 |
1,031169 |
45 |
1,039628 |
50 |
1,049138 |
55 |
1,059696 |
60 |
1,071289 |
65 |
1,083893 |
70 |
1,097468 |
75 |
1,111961 |
80 |
1,127301 |
85 |
1,143401 |
90 |
1,160156 |