Теоретические сведения

1. Основные понятия и формулы.

Теория вероятностей – раздел математики, в котором выясняются закономерности, возникшие при взаимодействии большого числа факторов или событий.

Событие – это всякий результат или исход опыта.

Случайное событие – это событие, которое может при осуществлении данных условий как произойти, так и не произойти и для которого имеется определённая вероятность его появления.

Относительная частота события P*(А) в серии опытов определяется отношением числа m появлений этого события к общему числу n проведённых измерений:

P*(А) (1)

Вероятность – числовая характеристика, степень возможности появления какого-либо случайного события при тех или иных условиях.

Статическая вероятность события (закон больших чисел) это предел, к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний:

P (A) = ; при этом (2)

Несовместимые события – это события, которые не могут произойти одновременно.

Событие невозможно, если P(A) = 0.

Событие достоверное, если P(A) = 1, т.е. в результате эксперимента оно должно произойти обязательно.

Дискретная случайная величина – это случайная величина, принимающая только определённые числовые значения.

Условие нормировки для дискретной случайной величины, имеющей n значений:

.

Непрерывная величина – величина, принимающая любые значения в данном интервале.

Простой статистический ряд – совокупность всех значений случайной величины, записанных в порядке их получения.

Выборка (выборочная совокупность) – часть значений (x , x ,…x ) случайной величины, отобранных для исследования из общей совокупности всех её значений.

Математическое ожидание дискретной случайной величины X есть сумма произведений всех её возможных значений x на их вероятности P : (3)

Для эмпирических распределений статистическим аналогом математического ожидания является среднее арифметическое значение .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X служит интервал:

M (X) = (4),

где f(x) – плотность вероятности (функция распределения вероятностей).

Дисперсия D(Х) дискретной случайной величины X характеризует отклонение (рассеяние) этой случайной величины от её среднего значения (математического ожидания) и для опытных данных определяется формулой:

D(Х) = (5)

Среднее квадратичное отклонение < > - корень квадратный из дисперсии:

< > = (6)

Закон распределения случайной величины – это совокупность всех возможных значений X случайной величины и соответствующих им вероятностей P .

Нормальный закон распределения случайных величин (закон Гаусса).

(7),

где <x> - математическое ожидание (среднее значение) случайной величины <x> = M (X);

- среднее квадратичное отклонение;

- основание натурального логарифма (неперово число);

f (x) – плотность вероятности (функция распределения вероятностей).

Распределение Больцмана:

n = n exp (-mgh/кТ) (8),

где n – концентрация молекул воздуха, находящихся в гравитационном поле Земли на высоте h;

n - концентрация молекул на высоте h = 0;

Т – температура;

m – масса молекулы;

к – постоянная Больцмана;

g – ускорение свободного падения.

Закон распределения молекул в газах по скоростям называется распределением Максвелла.

(9),

где m_о – масса молекулы, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура газа, - скорость молекулы.

Гистограмма (от греч. histos – столб, gramma – черта, столбчатая диаграмма)- один из способов графического изображения статистических распределений какой-либо величины; представляет собой совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой.

Доверительный интервал – интервал, в который с определенной (доверительной) вероятностью попадает истинное значение измеряемой или исследуемой величины.

Доверительной вероятностью (надёжностью) результата серии измерений называется вероятность того, что истинное (действительное) значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал.

Среднее арифметическое значение n измерений величины X:

<X> = = (10)

Абсолютная погрешность отдельного измерения:

= (i = 1,2,…n)

Средняя абсолютная погрешность опыта для измерений:

< X> = = (11)

Относительная погрешность опыта:

Е = (12)