Тема 2. Случайные величины

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять любое, неизвестное заранее, числовое значение из известной совокупности значений, причем только одно. Например, выпадение числа очков на брошенной игральной кости — случайная величина; до опыта нельзя сказать, какое из возможных значений —1,2,3,4,5 или 6 — она примет.

Дискретной случайной величиной называется такая случайная величина, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Возможные значения дискретной случайной величины различаются между собой с вероятностной точки зрения. Можно составить таблицу, в которой перечислить все возможные значения дискретной случайной величины с указанием их вероятности. Такая таблица однозначно задает случайную величину и называется законом распределения.

Пусть дискретная случайная величина X принимает возможные значения . В результате опыта случайная величина примет одно и только одно из этих значений. Другими словами, произойдет одно из несовместных событий, образующих полную группу: . Обозначим вероятность этих событий буквами р с соответствующими индексами: . Так как указанные события образуют полную группу, то сумма вероятностей появления возможных значений случайной величины равна 1:

. (1)

Закон распределения, устанавливающий связь между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими вероятностями, можно задать в виде таблицы:

			…
P			…

С помощью таблицы распределения можно найти вероятность попадания дискретной случайной величины в заданный интервал.

Существенные особенности случайных величин можно описать некими числовыми параметрами, которые называются числовыми характеристиками, важнейшими из которых являются математическое ожидание и дисперсия.

1). Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности появления этих значений:

(2)

Математическое ожидание M(X) — это число, выражающее среднее значение случайной величины. При вычислениях M(X) бывает полезно пользоваться следующими свойствами математического ожидания:

1. ;

2. , где .

2). Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

Дисперсия D(X)— это неотрицательное число, которое характеризует разброс значений случайной величины X вокруг математического ожидания.

Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой:

(3)

и следующими свойствами дисперсии:

1. ;

2. , где .

Пример. Дискретная случайная величина задана законом распределения

X	-2	-1	3	4	5
P	0,2	0,1	0,3		0,3

Найти:

1. Вероятность того, что случайная величина примет значение x=4, т.е. =?

2. Математическое ожидание M(X).

3. Дисперсию D(X).

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал (-1,5; 3].

1. Согласно (1) , тогда 0,2+0,1+0,3+ +0,3=1, откуда =0,1.

2. Математическое ожидание найдем по формуле (2): 2,3.

3. Дисперсию определим по формуле (3). Поскольку для вычислений потребуется , добавим в таблицу распределения строку значений .

X	-2	-1	3	4	5
P	0,2	0,1	0,3	0,1	0,3
	4	1	9	16	25

.

=12,7–2,3²=7,41.

4. Для вычисления вероятности попадания случайной величины в интервал (-1,5; 3] определим, какие значения случайной величины попадают в этот интервал, и по теореме сложения вероятностей несовместных событий получим:

.