Тема 5. Транспортная задача

Постановка транспортной задачи

Симплекс-метод является универсальным методом решения задач линейного программирования. Однако существуют классы задач, обладающие специфическими свойствами, для которых разработаны более простые методы решения. К такому типу относится задача, получившая название транспортной.

Пусть имеется m поставщиков однородного груза с запасами (мощностями) единиц соответственно. Этот груз необходимо доставить n потребителям , необходимое количество груза для которых (емкости) составляет . Стоимости с_ij перевозок единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю считаются заданными. Условия задачи представлены в таблице вида

		b2
a2
am

Требуется составить такой план перевозок (т.е. указать количество перевезенного груза от каждого поставщика к каждому потребителю), при котором будут полностью разгружены поставщики и удовлетворены потребители, а транспортные издержки будут минимальны.

Если суммарная мощность поставщиков равна суммарной емкости потребителей, т.е. , то модель транспортной задачи называется закрытой, при нарушении этого условия — открытой.

Закрытая транспортная задача

Рассмотрим задачу закрытого типа. Обозначим количество груза, перевозимого от i-го поставщика к j-му потребителю, через .

Составим математическую модель задачи.

(1)

(2)

(3)

(4)

Первые m уравнений системы (1) соответствуют ограничениям по запасам поставщиков, последние n — ограничениям потребителей; условие неотрицательности (2) следует из экономического смысла неизвестных ; уравнение (2) означает, что транспортная задача является закрытой. Целевая функция (4) выражает суммарную стоимость перевозок.

Математически транспортная задача (1)—(4) ставится следующим образом: среди множества планов системы линейных уравнений (1), (3) и неравенств (2) найти такой план , который минимизирует целевую функцию (4).

Таким образом, транспортная задача является задачей линейного программирования и может быть решена симплекс-методом, алгоритм которого состоит из трех шагов:

1. Построение начального плана.

2. Проверка плана на оптимальность. Если план оптимален, то задача решена; в противном случае — переход к п.3.

3. Построение нового плана с меньшей (или равной) стоимостью перевозок.

Специфические особенности системы ограничений транспортной задачи привели к разработке упрощенного метода решения на каждом шаге алгоритма.

Пример 1. Необходимо осуществить перевозки однородного груза от 4-х поставщиков 3-м потребителям, запасы и потребности которых, а также стоимости единичных перевозок заданы таблицей:

	12	9	19
9	10	3	10
8	7	8	12
12	5	5	8
11	2	1	7

Требуется построить такой план перевозок, при котором суммарная стоимость будет наименьшей.

1. Построение начального плана.

Прежде всего проверим, является ли задача закрытой.

9+8+12+11=40;

12+9+11=40.

Поскольку , мы имеем дело с закрытой задачей.

Решение будем строить непосредственно в транспортной таблице 7, которая имеет вид:

Таблица 7.

Поставщики		Потребители
			b2

где a_i — мощность поставщиков, b_j — емкость потребителей, с_ij —стоимость единичной перевозки, а х_ij — количество перевозимого груза от А_i поставщика к B_j потребителю, i=1…m, j=1…n.

Начальный план составим методом наименьшей стоимости.

Из всей таблицы выбираем наименьшую стоимость единичной перевозки с_ij и в соответствующую ей клетку помещаем наименьшее из чисел и . Тогда или будет полностью исчерпан запас груза поставщика и в остальных клетках i -ой строки можно поставить прочерк, или потребности потребителя будут полностью удовлетворены и можно поставить прочерк в оставшихся клетках j-го столбца.

Из незаполненных клеток снова выбираем клетку с наименьшей стоимостью, и процесс распределения грузов повторяем, пока все запасы поставщиков не будут распределены, а потребности потребителей полностью удовлетворены. (Если клеток с одинаковой стоимостью несколько, в первую очередь заполняется клетка с наибольшей возможной поставкой.)

В нашем примере наименьшую стоимость перевозки с₄₂=1 имеет клетка (4;2). Потребность в грузе потребителя B₂ составляет 9, а запас груза поставщика А₄ 11 единиц. Наибольшая из возможных поставок =9 (наименьшее из чисел 11 и 9). Записываем =9 в таблицу и в оставшихся клетках второго столбца ставим прочерк, т.к. потребности B₂ будут полностью удовлетворены. У поставщика А₄ остается в запасе 2 единицы груза.

Далее заполняем клетку (4;1) с с₄₁=2. Поставку х₄₂ определим как наименьшее из чисел 12 и 2 (остаток груза А₄), х₄₂=2. Потребителю В₁ необходимо завезти еще 10 единиц груза, а возможности поставщика А₄ будут исчерпаны полностью, в клетке (4;3) ставим прочерк.

Из оставшихся клеток наименьшую стоимость имеет клетка (3;1) с с₃₁=5. Запас груза А₃ равен 12, потребность В₁ 10 единиц, следовательно х₃₁=10. Потребности В₁ удовлетворены полностью, в остальных клетках первого столбца ставим прочерки. Оставшиеся у А₃ 2 единицы поместим в (3;3), т. е. х₃₃=2. Далее вносим в таблицу х₂₃=8, х₁₂=9.

Таблица 8 представляет начальный план задачи Х₁. (Полезно проверить, что сумма поставок по столбцам равна соответствующим мощностям потребителей, сумма поставок по строкам — емкостям поставщиков.)

Таблица 8. План Х₁.

40 40
		12	9	19
	9	10 —	3 —	10 9
	8	7 —	8 —	12 8
	12	5 10	5 —	8 2
	11	2 2	1 9	7 —

Заполненные клетки таблицы соответствуют базисным переменным, а пустые — свободным переменным из системы ограничений (1) (свободные переменные равны нулю). Поскольку система (1) содержит m+n–1 линейно независимых уравнений, то и число базисных переменных будет таким же, (m — число поставщиков, n — число потребителей). План с m+n–1 заполненными (базисными) клетками называется невырожденным, при меньшем числе заполненных клеток — вырожденным. Для того чтобы снять вырождение, необходимо в пустые клетки записать нулевые перевозки, дополнив число базисных переменных до количества m+n–1. Ноль можно поставить только в ту пустую клетку, которая не будет образовывать цикла вместе с уже заполненными клетками.

Циклом называется замкнутая ломаная, вершины которой находятся в клетках, а звенья располагаются вдоль строк и столбцов; в каждой вершине встречаются два звена, одно из которых проходит вдоль строки, а другое — вдоль столбца. Начало и конец ломаной совпадают; она может самопересекаться.

Проверим вырожденность плана нашей задачи: мы имеем 4-х поставщиков и 3-х потребителей, для невырожденного плана число заполненных клеток должно составлять 4+3–1=6. У нас 6 заполненных клеток, следовательно, план невырожденный.

Подсчитаем суммарную стоимость перевозок плана Х₁:

и делаем следующий шаг.

2. Проверка плана на оптимальность.

При проверке плана на оптимальность воспользуемся методом потенциалов.

Каждому поставщику и потребителю поставим в соответствие некоторые числа и , называемые потенциалами, таким образом, чтобы для всех заполненных (базисных) клеток выполнялось равенство:

, (i=1, 2, n; j=1, 2, m). (5)

Количество неизвестных потенциалов составит m+n, а уравнений (1) всего m+n–1. Поэтому один из потенциалов задается произвольно, после чего остальные потенциалы из системы уравнений (5) определяются однозначно. Обычно полагают .

Для того, чтобы план транспортной задачи был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы для всех пустых (свободных) клеток выполнялось условие

, (i=1, 2, n; j=1, 2, m). (6)

Если ввести понятие оценки клетки:

, (7)

то условие (6) оптимальности плана можно сформулировать как условие неотрицательности оценок всех пустых клеток:

. (8)

Проверим оптимальность построенного нами начального плана.

По заполненным клеткам определим потенциалы поставщиков U_i и потребителей V_j, которые будем вписывать справа и внизу транспортной таблицы соответственно.

Положим U₁ =0. Для заполненных клеток запишем условие (5) и найдем неизвестные потенциалы:

(1;3): , откуда V₃=10;

(2;3): U₂ +10 = 12, U₂ = 2;

(3;3): U₃ +10 = 8, U₃ = –2;

(3;1): –2 + V₁= 5, V₁ = 7;

(4;1): U₄ + 7= 2, U₄ = –5;

(4;2): –5+ V₂ = 1, V₂ =6.

Вычислим оценки пустых клеток по формуле (7):

Поскольку среди оценок клеток есть отрицательные, согласно условию (8) построенный план не является оптимальным и может быть улучшен.

3. Улучшение плана.

Если среди оценок свободных клеток построенного плана есть хотя бы одна отрицательная, план может быть улучшен. Среди пустых клеток с отрицательными оценками выбираем клетку с наименьшей величиной и для нее строим цикл пересчета. Одна вершина цикла находится в пустой клетке (i;j), а остальные — в заполненных. В вершинах цикла, начиная с пустой клетки, последовательно расставляем знаки «+» и «–». Cреди клеток, помеченных знаком «–» определяется наименьшее значение перевозки . Внутри цикла происходит перераспределение перевозок: в клетки со знаком «+» добавляется, а из клеток со знаком «–» вычитается величина . Таким образом пустая клетка (i;j) с наименьшей величиной получает поставку ; поставки клеток, не входящих в цикл, остаются прежними.

В результате получаем новый план перевозок. Он может оказаться вырожденным, поэтому нужно следить за тем, чтобы каждый новый план содержал ровно m+n–1 заполненных клеток.

Для нашей задачи среди отрицательных оценок наименьшую оценку имеет клетка (1;2), для нее строим цикл пересчета.

Из клетки (1;2) звено ломаной можно провести только вправо (слева нет заполненной клетки), затем вниз до клетки (3;3) (вершина ломаной не может быть в клетке (2;3), поскольку в этой строке больше нет заполненных клеток). Затем влево до клетки (3;1), далее (4;1), (4;2) и возвращаемся в (4;1). Расставляем чередующиеся знаки «+» и «–» в вершинах ломаной, начиная с вершины в пустой клетке (1;2) (табл. 9).

Таблица 9.

	10 —	3 — +	10 - 9	0
	7 —	8 —	12 8	2
	5 1 0 -	5 —	8 + 2	-2
	2 2 +	1 9 -	7 —	-5
	7	6	10

Вычислим = min{9;10;9}=9 — количество груза, перераспределяемое внутри цикла. Величина прибавляется к перевозкам в клетках, помеченных знаком «+», и вычитается из перевозок в клетках, помеченных знаком «–». Изменение величины перевозок происходит только в вершинах цикла, остальные значения х_ij остаются прежними.

Новый план Х₂ должен содержать 6 заполненных клеток, в построенном нами плане их всего 5, т.е. план вырожденный. Так получилось потому, клетки (1;3) и (4;2) одновременно стали пустыми. Чтобы снять вырождение плана, надо в одну из этих клеток дать перевозку, равную нулю, тогда клетка станет базисной. Поставим 0, например, в клетку (1;3), эта нулевая поставка переводит свободную клетку в разряд базисных. План Х₂ транспортной задачи представлен в табл.10. (В этой же таблице записаны потенциалы и изображен цикл пересчета, получаемые в дальнейшем).

Таблица 10. План Х₂.

	10 —	3 9	10 0	0
	7 — +	8 —	12 - 8	2
	5 1 _	5 —	8 + 11	-2
	2 11	1 —	7 —	-5
	7	3	10

Изменение значения целевой функции можно вычислить как = , где — оценка клетки, для которой построен цикл, — количество перемещаемого по циклу груза.

= + =265+9(-3)=238.

Исследуем план Х₂ на оптимальность.

Вычислим потенциалы U_i и V_j. Положим U₁ =0 и для заполненных клеток (напомним, что клетка (1;3) является заполненной) запишем условие (8.5):

(1;3): , откуда V₃=10;

(1;2): 0+V₂= 3, V₂ = 3;

(2;3): U₂+10 = 12, U₂= 2;

(3;3): U₃ +10= 8, U₃= –2;

(3;1): –2+ V₁= 5, V₁ = 7;

(4;1): U₄+7 = 2, V₁ = –5;

Сделаем оценки пустых клеток:

Для плана X₂ условие оптимальности (8) не выполнено, т.к. клетка (2;1) получила отрицательную оценку, для нее строим цикл пересчета. Расставляем чередующиеся знаки «+» и «–» в вершинах цикла, начиная с вершины (2;1).

Вычислим = min{8;1}=1. Прибавим это значение к величине перевозок в клетках со знакам «+», вычтем из перевозок в клетках со знакам «–». Получим новый невырожденный план X₃, представленный в таблице 11.

Таблица 11. План X₃.

	10 —	3 1	10 8	0
	7 —	8 8	12 —	2
	5 1	5 —	8 11	-2
	2 11	2 —	7 —	-3
	5	3	10

= + =238+1(-2)=236.

Проверим план на оптимальность. Найдем потенциалы, полагая U₁ =0:

(1;3): , откуда V₃=10;

(1;2): 0+V₂= 3, V₂ = 3;

(2;3): U₂+10 = 12, U₂= 2;

(2;1): 2+ V₁= 7, V₁ = 5;

(3;3): U₃ +10= 8, U₃= –2;

(4;1): U₄+5 = 2, U₄= –3.

Вычислим оценки пустых клеток:

Поскольку все оценки неотрицательны, план X₃ является оптимальным.

X₃= , =236.

Открытая транспортная задача

При нарушении условия транспортная задача называется открытой. Возможны случаи, когда

1) . Задача сводится к закрытой задаче введением фиктивного поставщика с запасом груза = . Груз, соответствующий поставкам от , останется недополученным потребителями.

2) . Задача сводится к закрытой задаче введением фиктивного потребителя с потребностями в грузе = . Соответствующие ему значения в оптимальном плане будут означать оставшийся не отправленным груз поставщиков.

При введении фиктивных поставщиков и потребителей, соответствующие им цены единичных перевозок принимаются равными нулю, если нет других ограничений.

Пример 2. Имеется 3 поставщика и 3 потребителя, запасы грузов и потребности в них, а также цены единичной перевозки указаны в таблице. Требуется составить план перевозок, при котором суммарные транспортные затраты будут минимальными.

	60	60	50
50	3	3	2
70	4	3	2
60	6	7	4

Прежде всего проверим, является ли поставленная задача закрытой.

50+70+60=180; 60+60+50=170, ,следовательно, это открытая задача второго типа. Введем фиктивного потребителя =В₄, потребность в грузе которого примем равной =180 –170=10, цены единичных перевозок от поставщиков фиктивному потребителю считаем равными нулю, т.е. . Задача становится закрытой, ей соответствует таблица 12.

Составим начальный план методом наименьшей стоимости.

Делаем поставку в клетку (1;3) x₁₃=50, исключаем из рассмотрения первую строку и третий столбец (можно было сделать эту поставку и в (2;4)). Для клетки (2;2) x₂₂=60, во

втором столбце ставим прочерк, у остается 10 единиц груза. Отдаем их , x₂₁=10. У остается потребность 50 единиц, запишем их в (1;1), x₃₁=50. Тогда оставшиеся 10

Таблица 12.

180 180
		60	60	50	10
	50	3	3	2	0
	70	4	3	2	0
	60	6	7	4	0

единиц у пойдут , x₃₄=10. Начальный план записан в таблице 13.

Таблица 13. План .

	3 — +	3 —	2 - 50	0 —	0
	4 1 0 -	3 60	2 +0	0 —	0
	6 50	7 —	4 —	0 10	2
Vj	4	3	2	-2

F(Х₁)=

Проверим количество заполненных клеток. Для нашей задачи их число должно составлять 3+4–1=6, а в нашем плане только 5, т.е. план вырожден. Поставим 0 в любую пустую клетку, не образующую цикла с уже заполненными клетками, например в (2;3). (Нельзя заполнить нулем клетки (2;4), т.к. образуется цикл (2;4) (3;4) (3;1) (2;1) (2;4) или (2;3) цикл (3;2) (3;1) (2;1) (2;2) (3;2))

Проверим оптимальность полученного плана.

Определим потенциалы, полагая U₁ =0. Для заполненных клеток:

(1;3): , V₃=2;

(3;2): U₂+2= 2, U₂ = 0;

(2;2): 0+ V₂= 3, V₂= 3;

(2;1): 0+ V₁=4, V₁=4;

(3;1): U₃ +4= 6, U₃= 2;

(4;1): U₄+2 = 0, U₄= –2.

Найдем оценки пустых клеток:

Поскольку среди оценок есть отрицательная, план может быть улучшен.

Для клетки (1;1) строим цикл пересчета, расставляем знаки в вершинах цикла. Определяем =min{10;60}=10, прибавляем это значение к перевозкам в клетках, помеченных знаком «+», вычитаем из перевозок в клетках, имеющих знак «–». Получаем новый план X₂, представленный в таблице 14.

Таблица 14. План X₂.

	3 1 0 +	3 —	2 - 40	0 —	0
	4 —	3 60	2 10	0 —	0
	6 5 0 -	7 —	4 + —	0 10	3
Vj	3	3	2	-3

= + =620+10(-1)=610.

Проверим оптимальность плана X₂.

Для заполненных клеток, считая U₁ =0, определяем потенциалы:

(1;1): 0+V₁=3, V₁=3;

(1;3): , V₃=2;

(3;2): U₂+2= 2, U₂ = 0;

(2;2): 0+ V₂= 3, V₂= 3;

(3;1): U₃ +3= 6, U₃= 3;

(4;1): U₄+3 = 0, U₄= –3.

Для пустых клеток найдем оценки:

Поскольку одна из оценок отрицательна, план может быть улучшен.

Строим цикл для клетки (3;3). =min{40;50}=40. План представлен в табл.15.

Таблица 15. План .

	3 50	3 —	2 —	0 —	0
	4 —	3 60	2 10	0 —	1
	6 10	7 —	4 40	0 10	3
Vj	3	2	1	-3

= + =610+40(-1)=570.

Проверим оптимальность плана X₃.

Найдем потенциалы: U₁ =0,

(1;1): 0+V₁=3, V₁=3;

(3;1): U₃ +3= 6, U₃= 3;

(3;3): 3+ V₃= 4, V₃= 1;

(3;4): 3+V₄=0, V₄=3;

(2;3): U₂+1=2, U₂=1;

(2;1): 1+V₂ = 3, V₂=2.

Оценки пустых клеток:

Для плана X₃ условие оптимальности (8) выполняется, следовательно, план X₃ является оптимальным.

Запишем ответ задачи:

X₃= .

Поскольку последний столбец оптимального плана соответствует фиктивному потребителю, из окончательного ответа он должен быть исключен. Отброшенное значение x₃₄=10 означает, что 10 единиц груза поставщика А₃ останутся нераспределенными. Окончательный ответ —

, F (X^*)=570.