1markov_l_a_otv_red_granitsy_nauki

Тем самым в отечественной философской традиции разум понимается, по определению прот. В.Зеньковского, динамически. Познание существенно зависит от духовной жизни личности. И хотя законы логики и правила арифметики остаются инвариантными, наше познание глубоко обусловлено теми ценностными и мировоззренческими горизонтами, в которых оно разворачивается, которые суть выражения духовного самоопределения личности и эпохи. Углубление и расширение нашего познания теснейшим образом связано, в этом понимании, с нравственным совершенством личности. Само познание рассматривается здесь не просто как функция гносеологического субъекта, а как целостный акт личности. «Онтологический смысл познания, — пишет Зеньковский, — онтологическая сторона познания и состоит в сближении с предметом познания, чтобы перейти в любовь к нему. Достаточно уяснить себе эту конечную задачу познания, чтобы понять, что так называемая «теоретич- ность» познания, понимая это в смысле греческого Theoria, вовсе не есть чисто созерцательное отношение к предмету, — это есть движение духа к предмету, имеющее в виду обнять его любовью и соединиться с ним через эту любовь»128 .

Согласно пониманию русской религиозной философии совершенное познание требует духовного совершенства: только «чистые сердцем Бога узрят». Этот подъем по лестнице умственного «ведения» возможен только как одновременное преображение человеческого существа благодатными божественными энергиями — обожение. Это совершается на путях личного христианского подвига. Совершенное познание возможно только через соединение с божественным Логосом. И любовь здесь имеет решающее значение: «Любовь никогда не перестает, хотя и пророчества прекратятся, и языки умолкнут, и знание упразднится. Ибо мы отчасти знаем, и отчасти пророчествуем; когда же настанет совершенное, тогда то, что отчасти, прекратится»129 .

* * *

Теория множеств дает нам один из ярчайших примеров того, как наука в своем естественном развитии подходит к проблемам, которые требуют уже для своего — не говорю: решения, но даже просто осмысления — обсуждения глубоких философских и мировоззренческих вопросов. Можно, конечно, продолжать

71

работать и не обращая внимания на эти уже поднятые философские вопросы. Таких людей, как Г.Вейль, для которого кризис в математике был одновременно и мировоззренческим кризисом, не так уж и много в науке (особенно в современной). Всегда находились и, несомненно, найдутся ученые, которых ничто не остановит в их стремлении решить возникшие в теории сложности чисто внутринаучными, «цеховыми» средствами. Однако дело здесь не только в широте образованности, философских наклонностях или мировоззренческих симпатиях уче- ного. Философские дискуссии XIX-XX столетия, связанные с основаниями теории множеств, по существу касаются вопроса о возможности познания актуально-бесконечного, о смысле математических конструкций вообще. И обывательски отмахнуться от них трудно, потому что вместе с ними возникает и вопрос о границах научного познания вообще.

Решение же последнего вопроса обусловлено, как мы видели выше, тем, в каком философском горизонте рассматривается проблема математического познания. Кант, связавший свое понимание математики со специфически интерпретируемым созерцанием, в принципе отрицает познание актуально бесконечного. Î.Беккер также дает «статическое» понимание познавательных возможностей разума. Деление познания на «понимание», «объяснение» и «владение» проводит жесткие границы между отдельными науками и их методами. Причем математике, во всяком случае в ее высших разделах, суждено обслуживать именно «знание-вла- дение»: познание «кристаллических» структур принципиально чуждого человеческой душе мира неорганической природы. Все попадающее в сферу «понимания», — прежде всего гуманитарное знание, — составляет естественную границу «математического метода мышления». А.Пуанкаре, идущий от своего профессионального опыта математика, настаивает на необходимой роли интуиции в математике, однако понимает эту интуицию-созерцание уже совсем иначе, чем Кант. По Пуанкаре, существует некоторая подсознательная интуиция, направляющая наши поиски и подсказывающая нам решение. Границы возможностей этого «подсознательного «я» трудно определить, но, во всяком случае, ему удается «навязывать» сознанию некоторые априорные синтети- ческие суждения, касающиеся актуальной бесконечности130 . Пуанкаре подчеркивает также регулятивную роль эстетических критериев в математике: подсознательное «я» ученого как бы ведет «эстетический отбор» возможных вариантов решения. Тем са-

72

Примечания

1Как пишет один из биографов создателя теории множеств Г.Кантора: «Канторовские исследования подвели нас к границе «непостижимого» (Meschkowski Н. Probleme des Unendlichen. Werk und Leben Georg Cantors.

Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig, 1967. S. 225).

2Священник Павел Флоренский, давший одно из первых в отечественной литературе изложений канторовской теории множеств, так описывал эту ситуацию: «Его, конечно, публика не понимает. Чего нужно ему? Для философов он «философствующий математик», для математиков — метафизик, для индифферентных — он подозрительно религиозен, — как бы тут не было подвохов; для теологов он будто бы опасен: «не ведут ли эти умствования к пантеизму?» — вот задняя мысль теологов» (См.: О символах бесконечности

(Очерк идей Г.Кантора). С. 122 // Священник Павел Флоренский. Сочинения в четырех томах. T. 1. Философское наследие. М., 1994. С. 79-128).

3Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном. С. 64 // Георг Кантор. Труды по теории множеств. Ответственные редакторы А.Н.Колмогоров, А.П.Юшкевич. М., 1985. С. 63106 (В дальнейшем я делаю ссылки на эту книгу следующим образом: Кантор

и указание страниц).

4Кантор. С. 64-65.

5Кантор. С. 65.

6Прежде всего Лейбницем. Кантор не считал дифференциал актуально бесконечно малой. Дифференциал для него, больше ориентированного на конструкции О.Коши, был произвольным сколь угодно малым количеством. Впрочем, и точка зрения Лейбница на дифференциал была колеблющейся (См. мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. М.,

1983. Ãë. II).

7Аристотель. Физика, 206а, 28-35.

10Ошибочный начальный тезис (греч.).

11Кантор. С. 263.

12К обоснованию учения о трансфинитных множествах. С. 173 // Кантор. С. 173-245.

13Кантор ввел обозначения мощностей через букву «алеф» — — первую букву еврейского алфавита, — с индексами.

14Кантор. С. 186.

15В отличие от определения кардинала, здесь однократное абстрагирование, поэтому и одна черта над символом множества: М.

16В общем случае, т.е. включая и бесконечные множества.

74

17Кантор. С. 72-73.

18Поэтому Кантор с необходимостью вовлекается в математические и философские дискуссии.

19Кантор. С. 73.

20Òàì æå.

21Кун Т. Структура научных революций. M., 1975.

22Подробнее см. об этом в моей книге: В.Н.Катасонов. Метафизическая математика XVII века... гл. II и IV.

23К учению о трансфинитном. V. Прим. 19 (со c. 289). С. 291 // Кантор С. 268-324 (Перевод с лат. дан по книге: Ориген. О началах. С. 150-151 // Творения Оригена, учителя александрийского, в русском переводе. Казань, 1899).

24Там же. Перевод с лат. см.: Кантор. С. 416.

25Òàì æå.

26Òàì æå.

27Основы общего учения о многообразиe. С. 79 // Кантор. С. 63-106.

28Òàì æå.

29Öèò. ñî÷. Ñ. 103. Ïðèì. 6.

30Òàì æå.

31Выражение Н.Бурбаки.

32Основы общего учения о многообразиях... С. 79-80.

33Как считает Кантор.

34Öèò.ñî÷.Ñ. 80.

35Этa точка зрения на математику отнюдь не была самоочевидной в истории этой науки. Античность в целом смотрела на математику более онтологично. См., например, мою статью: Катасонов В.Н. Форма и формула (к вопросу о типе рациональности античной и декартовской геометрий) // Философия науки. Вып. 1. Проблемы рациональности. М., 1995. С. 105-146.

36Meschkowski H. Aus den Briefbüchern Georg Cantors. S. 510 // Archive for History of Exact Sciences. Ed. by C.Truesdell. Vol. 2. ¹ 6. Berlin, Heidelberg, New York. S. 503-519.

37Основы общего учения о многообразиях. С. 80.

38См., например, книгу: Левицкий С.А. Трагедия свободы. Посев, Франкфур- на-Майне, 1958.

39См. мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. Гл. I.

40См. мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. Гл. 1. А также статью: Катасонов В.Н. Форма и формула (античная и картезианская геометрия) // Исторические типы рациональности. Т. 2. М., 1996. С. 50-86.

41Здесь прежде всего нужно иметь в виду Лейбница. См. мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века...

42Основы общего учения о многообразиях... С. 88.

43Этим «как бы» я хочу сказать, что Кантор слишком переоценивал значение этого результата. Отображение n-мерного пространства на одномерное было в высшей степени искусственное и «внешнее», и оставалось непонятным, как бы можно было его использовать для сведения задач n-мерных к одномерным. На это Кантору указывали многие. См., в частности, Переписку Кантора с Дедекиндом в: Кантор. С. 346 и далее.

75

44Я не использую здесь специальных терминов и операции теории множеств. Тот, кто хочет познакомиться с точными математическими определениями, должен обратиться к соответствующей литературе. См., например: Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977. С. 136-143.

45Основы общего учения о многообразиях... С. 91.

46Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум — гипотеза. Библиотека сборника «Математика». М., 1969. С. 282.

47Ñì. Ñ. 9.

48Другими словами, N само есть вполне упорядоченное множество.

49Цитата по книге: Ф.А.Медведев. Ранняя история аксиомы выбора. М., 1982. С. 218.

50Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора... С. 46-48.

51См., например, книгу: Кановей В.Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. М., 1984. С. 20.

52Справочная книга по математической логике. Ч. II. Теория множеств. М., 1982. С. 42.

53Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора ... С. 6.

54Цит. по книге: Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора ... С. 276.

55Цитаты по книге: Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора... С. 279-281.

56Справочная книга по математической логике. Ч. II. С. 62.

57Кановей В.Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности... С. 63.

58Теорема о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет мощность большую, чем исходное множество.

59Aus dem Briefwechsel zwischsen Cantor und Dedekind. 1. Cantor an Dedekind. Halle, 28. Juli 1899. S. 443444 // Georg Cantor. Gesammelte Abhandlungen. Herausg. von Ernst Zermelo. Berlin, 1932. S. 443-451.

60«Совокупность всего мыслимого» является, так сказать, типичным «диалектичным» понятием. В эту совокупность мы должны включить и мысль о нашем представлении о ней, и мысль о мысли о нашем представлении о ней и т.д.

61Сложилась дурная традиция издавать переписку Кантора: печатаются письма только самого Кантора. Так в отечественном издании Кантора из 49 писем переписки с Дедекиндом последнему принадлежит только 7 (плюс 7 замечаний). То же должно сказать и о последнем издании: Georg Cantor. Briefe. Herausg. von H.Meschkowski und W.Nilson. Springer — Verbag. Berlin, Heidelberg, 1991. В силу чрезвычайной важности предмета дискуссий для всей науки необходимо, конечно, печатать письма обоих корреспондентов.

62Cantor an Dedekind. Hahnenklee, 28. Aug. 1899. S. 447-448 // Georg Cantor. Gesammelte Abhandlungen...

63Что и делалось в системе аксиом Цермело.

64Cantor an Dedekind. Halle, 28 juli 1899. S. 444// Georg Cantor. Gesammelte Abhandlungen...

65См. Кантор. С. 367 и Примечания [1] издателей к этому доказательству.

66Кантор — Дедекинду. Ханенклее, 30 авг. 1899 г. С. 371 // Кантор. С. 370-371.

67Cantor an Dedecind. Halle, 28. Juli 1899. S. 447 // Georg Cantor. Gesammelte Abhandlungen...

68См.: Кантор неосознанно, как само собой разумеющееся, всегда использует молчаливое предположение о том, что любое множество можно вполне упорядочить.

76

69См., подробнее: Кантор. С. 96.

70Или континуум будет неконсистентным множеством.

71Dauben J.W. Georg Cantor... P. 245-246.

72См., например, Кантор. С. 266.

73Кантор. С. 101, Примечание 2.

74Dauben J.W. Georg Cantor... P. 246.

75Ibid.

76Кантор. C. 75.

77Например, в письме к Т.Эшеру. См.: Meschkowski H. Aus den Briefbьhern Georg Cantors... S. 511-513.

78Ibidem.

79Кантор. С. 290, прим. 19.

80Высший род (лат.).

81Совершенная действительность, Высшее бытие (лат.).

82Цит. по книге : Dauben J.W. Georg Cantor... Р. 290.

83Даубен совершенно убежден, что Кантор отождествлял свою математическую теорию с прямым богопознанием. После приведенной цитаты американский исследователь пишет: «Не может быть никакой ошибки в отношении канторовской идентификации своей математики и некоторого великого абсолютного единства в Боге. Это также соответствовало его отождествлению теории трансфинитных чисел с божественным вдохновением» (Dauben J.W. Georg Cantor... P. 290).

84Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. Новое в зарубежной науке. Математика. ¹ 31. М.: Мир, 1983. С. 124.

85Идею о связи модернизма и процессов в математике XX столетия поддерживает, в частности, Г.Мертенс (см.: Зарубежные исследования по философским проблемам математики 90-х гг. Научно-аналитический обзор. М., 1995. С. 67).

86История идеи универсальной характеристки. С. 416 // Лейбниц Г.В. Соч. в 4 т. Т. 3. Философское наследие. М., 1984. С. 412-418. См. также мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века... Гл. II.

87Критика чистого разума. С. 224 // Кант И. Соч. в 6 т. Т. 3. Философское наследие. М., 1964.

88Öèò. ñî÷. Ñ. 178.

89Öèò. ñî÷. Ñ. 406.

90Там же. Примечание.

91Òàì æå. Ñ. 408.

92Öèò. ñî÷. Ñ. 408.

93Öèò. ñî÷. Ñ. 470.

94Öèò. ñî÷. Ñ. 473.

95Öèò. ñî÷. Ñ. 472.

96Öèò. ñî÷. Ñ. 472-473.

97Becker Î. Grösse und Grenze der matematischen Denkweise. Freiburg, München, 1959.

98Becker O. Grösse und Grenze der matematischen Denkweise... S. 162 и далее.

99Понимание теснейшим образом связано с тем raison du coeur, о котором говорил Б.Паскаль.

77

Т.Б.Романовская

ГРАНИЦЫ ФИЗИКИ В КОНЦЕ XX ВЕКА

Âэтой статье проблема границ науки будет рассматриваться

ñточки зрения отдельной научной дисциплины — физики. Стала общим местом констатация произошедшей в XIX веке резкой дисциплинаризации науки, что привело к потере универсализма и в самом подходе к науке, и в формировании ученых. Д.Найт констатирует, что уже в 1831 г. Дж.Гершель вызвал всеобщее изумление своим отказом специализироваться1 . И если для Гершеля жажда универсализма привела к результатам выдающимся, то подобные исключения были уже редки. По справедливому замечанию Найта, на удивление скоро отказ от специализации в науке стал просто глупостью.

Выбор физики в качестве дисциплины, репрезентирующей границы науки, мотивируется целым рядом доводов. Так, несмотря на разделение наук, корпус естественнонаучного знания сохранил целый ряд общих свойств. Например, сохранилась некая иерархия между входящими в него дисциплинами. Высшую ступень в этой иерархии, начиная с конца XIX — начала XX века, занимала физика, которая становится парадигмальной наукой, занимая место механики, составляющей теперь лишь одну из ее областей. Спор о возрасте Земли, который возник во второй половине XIX века между физиками в лице лорда Кельвина и представителями «описательных» наук того времени, геологами и биологами2 , наглядно показывает, что уже в то время именно физика обладала особым весом в споре между разными науками. Хотя в геологии и биологии было накоплено огромное число опытных фактов, свидетельствовавших о том, что возраст

79

Земли исчисляется сотнями миллионов лет, за физиками стоял авторитет физической теории, и их позиция рассматривалась как предпочтительная. И это при том, что та конкретная физи- ческая теория, на которую опирался Кельвин, была тоже феноменологической, то есть ее уровень доказательности был не выше, нежели обширная совокупность опытных данных геологов и натуралистов. Здесь определяющее значение имела уже устоявшаяся иерархия отдельных дисциплин. Точка зрения Кельвина была признана ошибочной, только когда был найден физический источник энергии (радиоактивный распад), обеспечивавший большую продолжительность жизни небесным телам и тем самым подтверждавший результаты описательных наук, то есть когда опровержение было получено внутри физической теории.

Кроме того, несмотря на явный кризис редукционизма во второй половине XX века, редукция к физике по-прежнему трактуется как последний этап объяснения естественнонаучных феноменов. Именно относительно физики и ломалось наибольшее число методологических и философских копий. Уже сказанное выше объясняет, почему для анализа границ науки здесь будет в большинстве случаев анализироваться насколько то, что раньше находилось вне сферы действия науки, входит теперь в сферу изучения науки (физики), равно как и то, насколько изменилось представление о степени научности того, что сегодня составляет сферу интересов физики.

Даже с самим определением физики возникают существенные сложности, поскольку определить предмет ее исследования, в отличие от биологии или геологии или даже химии, трудно — физика занимается всем. В последней трети XIX века Дж.К.Максвелл определил физику через тип рассматриваемых ею законов как науку, занимающуюся наиболее общими законами природы. Это определение почти дословно, правда с совсем необязательным дополнением «простейшие», было повторено и в современном энциклопедическом словаре. В определенном смысле физика приближается по степени общности к философии, традиционно рассматривающей именно связи с универсумом и согласно определению в словарях посвященной в специфическом контексте анализу «всеобщих законов природы»3 .

Следует констатировать наличие возникающего противоре- чия между, с одной стороны, явным нежеланием самого науч- ного сообщества физиков акцентировать внимание на общем, значит, отвлеченном от конкретики характере своей науки, а с

80