1markov_l_a_otv_red_granitsy_nauki

Введение актуальной бесконечности как базисного научного понятия в математику, как почти всякое значительное нововведение в науке, создало столько же новых проблем, сколько и позволило решить старых. Точнее говоря, создало, конечно же, больше. Однако с самого начала удалось провести аккуратное различение понятий в области, где столь долгое время было много путаницы. Кантор, вслед за Больцано, настойчиво объяснял различие актуальной и потенциальной бесконечностей. «Что касается математической бесконечности,... она, как мне кажется, выступает прежде всего в значении некоторой переменной, то растущей вверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, но всегда остающейся конечной величиной. Такое бесконечное я называю несобственно бесконечным»4 . Вместе с этим понятием несобственной (или потенциальной) бесконечности в математике встречаются примеры и другого рода, пишет Кантор. Таково, например, использование бесконечно удаленной точки комплексной плоскости в теории функций комплексной переменной. Здесь эту точку рассматривают в собственном смысле, т.е. рассматривают ее окрестности, поведение функции в этой точке и т.д. Благодаря преобразованиям, изучаемым в этой теории, бесконечно удаленная точка становится равноправной со всеми другими конечными точками плоскости. «Если бесконеч- ное выступает в подобной вполне оправданной форме, то я называю его собственно бесконечным»5 . Действительно, с XVII столетия в математике начинают использовать актуально бесконечные величины. Наряду с бесконечно удаленной точкой в проективной геометрии рассматривают также бесконечно удаленные прямые и плоскости. Основное понятие математического анализа — дифференциал — также рассматривался многими как актуально бесконечно малая6 .

Кантор четко различает три типа величин: конечные, потенциально бесконечные и актуально бесконечные. Вторые не есть собственно бесконечные, а представляют собой лишь переменное конеч- ное. Собственно бесконечное, как вводит его Кантор, представляет собой одновременно и определенное бесконечное, бесконечные порядковые числа. Эта точка зрения находилась в вопиющем противоречии с более чем двухтысячелетней традицией понимания бесконечного. Патриархом этого понимания был Аристотель, настой- чиво утверждавший: может существовать только потенциальная бесконечность. «Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, а взятое всегда бывает конеч- ным, но всегда разным и разным. Так что бесконечное не следует брать как определенный предмет, например как человека или

11

дом, а в том смысле, как говорится о дне или состязании, бытие которых не есть какая-либо сущность, а всегда находится в возникновении и уничтожении, и хотя оно конечно, но всегда разное и разное»7 . Это настойчивое отталкивание античной мысли от актуально бесконечного, понимание бесконечного только как процесса, как становления, бесконечность которого, собственно, сводилась к непрерывности становления, имеют свою основу в особом отношении античной мысли, — и шире: всей культуры, — к форме, в почитании формы, обожествлении ее8 . Бесконечное есть для античности неоформленное, безобразное, не ставшее и на основании всего этого как бы несуществующее.

Христианство внесло здесь свою существенную поправку: в сознание европейской культуры вошла актуально бесконечная сущность: Бог-Творец. И тут обозначились (и реализовались) разные возможности. Те, кто признавал исходную несоизмеримость Бога и человека, Творца и Твари, в частности божественного ума и человеческого, смиренно преклонялись перед тайной божественного всемогущества, всеведения, вечности, коро- че, перед тайной божественной бесконечности. О ней мы можем знать только через откровение и только через смирение верующего ума открываются человечеству высшие тайны познания. Другая точка зрения также говорила об откровении, но больше об откровении естественном ( а не историческом), в природе, в твари, и в особенности об образе Божием, отраженном в человеке. Человек был сотворен живой личностью, он обладал разумом, волей, чувством, творческими способностями. Это соблазняющее богоподобие9 человека открывало также путь и к спекулятивному богословию, к выведению знания о Боге не из откровения, а из рассуждений, из интеллектуальных и философских конструкций. Традиция спекулятивного богословия мощно расцвела внутри западноевропейской схоластики, пережила ее и существенно повлияла на становление новоевропейской науки. Интенциями именно этой традиции питалась и мысль Кантора.

Кантор как раз и хотел взять бесконечность «как человека или дом», говоря словами Аристотеля, как некий целый закон- ченный предмет, как бесконечное число. И более того. Это число оказывалось не единственным (традиционно обозначавшимся символом ∞). Область бесконечных чисел оказывалась сама бесконечной, со своими особыми свойствами. Вся идущая от античности огромная традиция критики возможности актуально бесконечного есть для Кантора лишь постоянно повторяю-

12

щийся паралогизм. «Все так называемые доказательства невозможности актуально бесконечных чисел являются, — как это можно показать в каждом отдельном случае и заключить из общих соображений, — ошибочными по существу и содержат prоton feаdoj10 в том, что в них заранее приписывают или, скорее, навязывают рассматриваемым числам все свойства конеч- ных чисел. Между тем бесконечные числа, если только вообще их приходится мыслить в какой-нибудь форме, ввиду своей противоположности конечным числам, должны образовывать совершенно новый вид чисел, свойства которых зависят исключи- тельно от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола и наших предрассудков»11 . Собственно, в разоблачении этих «предрассудков» и состоит в основном канторовская критика предшествовавших философских воззрений, направленных против актуальной бесконечности. Кантору пришлось вести эту полемику, так как и в среде математиков, и в среде философов сразу же после опубликования первых результатов по теории ординалов (бесконечных чисел) большинство, как мы уже сказали выше, выступило против этой опрокидывающей традиционные представления теории.

Однако прежде чем разбирать детали этой полемики, нам необходимо иметь элементарное представление о теории множеств.

2. Элементарные понятия «наивной» теории множеств

Теория множеств в той форме, в какой ее строил сам Кантор, еще до появления парадоксов, до четкого выделения ее аксиоматического базиса и использования современных средств математической логики, называется традиционно «наивной» теорией множеств. Она предполагает постоянную апелляцию к некоей общепринятой и неопределимой интуиции множества. И здесь должно заметить, что парадоксы и вся дальнейшая история развития теории множеств и представляли собой, по существу, как раз критику этой основной интуиции.

Исходное понятие множества тем самым предполагается наличным. Множества можно рассматривать в двух аспектах: а) как неупорядоченные и б) как наделенные некоторым порядком их элементов. Ясно, что первое рассмотрение есть более общий подход. Для любых (т.е., вообще говоря, неупорядоченных) множеств определяется понятие мощности множества. Сам Кантор определяет мощность следующим образом: «Мощностью тью» или «кардинальным числом» множества М мы называем то

13

общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания»12 . Кантор обозначает кардинальное число для множества Ì (две черты означают двойное абстрагирование). Для мощностей определяются понятия равенства, больше, меньше. Мощности множеств А и В равны (или множества эквивалентны), если существует взаимно однозначное отображенèе множества А на все множество В. В этом случае пишут À= Â. Если же существует взаимно однозначное отображение А на часть множества В, но не существует взаимíî îднозначного отображения В на часть А, тогда говорят, что À< Â . Для кардинальных чисел (мощностей) строится своя арифметика. Суммой множеств А и В (без общих элементов) называется множество, состоящее из элементов как А, так и В: оно обозначается A B. Тогда сложение кардиналов по определению есть:

À+Â = A B

Можно показать, что определение это корректно и получа- ющаяся операция коммутативна и ассоциативна. Произведением двух множеств А={а} и В={b} называется множество С=А•В, состоящее из пар {(а;b)}, где а А, a b В. Соответственно определяется умножение кардиналов

À•Â = À•Â

Так определенное умножение коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Можно аналогично определить и возведение множеств в степень, которое также будет обладать традиционными (для чисел) свойствами. Мы тем самым построили некоторую арифметику кардинальных чисел. Для конечных множеств эта арифметика совпадает с обычной арифметикой натуральных чисел. Но поскольку с самого начала предполагалось, что рассматриваемые множества могут быть и бесконечными, тем же самым получена и арифметика бесконечных кардинальных чисел. Свойства бесконечных кардиналов уже отличаются от свойств конечных чисел. Так пусть î — первый бесконечныé кардинал13 , т.е. мощность множества натуральных чи- сел î = {n}. Тогда нетрудно показать, что î > n, î + 1 = î+ n =

î; î•2 = î•n = î• î = î; î2 = î3 = în = î

14

Восходя от î, можно построить целый ряд возрастающих кардиналов. «Из î по некоторому определенному закону получается ближайшее большее кардинальное число , из него

не исчерпывает понятия трансфинитного кардинального числа»14 . Кантор доказывает существование кардинального числа

nw+1

Однако чтобы доказывать более тонкие теоремы для бесконечных множеств, одного «голого» понятия множества, лишенного всякой структуры, мало. Поэтому Кантор использует вместе с тем и упорядоченные множества, из которых соответственно и получается обобщение порядковых чисел — трансфинитные ординальные числа. Множество М называется, по Кантору, про-

какой из них занимает «более высокое» положение (пишут m < m , если m «выше» m );

б) для любых трех элементов m , m , m

1 2 3

m <m вместе с m <m влечет: m <m .

Всякому упорядоченному множеству М ñоответствует определенный порядковый тип, обозначаемый М. Под порядковым типом Кантор понимает «то общее понятие, которое получается из М, когда мы отвлекаемся от качества элементов m, но сохраняем их порядковое расположение»15 . Два упорядоченных множества называются подобными, если их элементы можно поставить во взаимно однозначное соответствие с сохранением порядка. То есть если m <m (в М), n соответствует m , а n соответствует m , то n <n (в N). Тем самым порядковый тип

21 2

характеризует весь класс подобных множеств. Для продуктивного развития теории нужны, однако не просто упорядоченные множества, а упорядочения с большими ограничениями. Вполне упорядоченным множеством называется просто упорядоченное множество, всякое подмножество которого содержит наименьший («самый низкий») элемент. Порядковый тип вполне упорядоченного множества называется соответствующим ему порядковым числом (или ординалом). Для вполне упорядоченных множеств и их порядковых типов (порядковых чисел) можно определить сравнение M<N и доказать теорему:

15

Если a и b — два произвольных порядковых числа, то или a=b , или a<b, или a>b.

Для порядковых чисел ( и даже для порядковых типов) можно определить сложение и умножение. А именно: если даны два упорядоченных множества

À = {...à , ...à ,...} è Â = {...b ,...b ,...},

1 n 1 m

то мы составляем новое упорядоченное множество (А,В), в котором «все В идет за А», а внутри каждого из множеств

как порядковый тип множества (А,В): a + b = (A,B)

Легко видеть, что это сложение уже некоммутативно. Пусть, например, ω есть порядковый тип множества Е = {e , e ,..eν,...},

1 2,

eν<eν , а 1 — порядковый тип конечного множества из одного

элемента f. Тогда 1+ +1, т.к. 1+ есть порядковый тип

+1 ω ≠ ω ω

множества

à ω +1 является порядковым типом множества

(E,f) = {e , e ,....e ,..., f}.

1 2 v

Эти множества очевидно неподобны: у (E,f) есть последний элемент, а у (f,E) — нет. Однако нетрудно видеть, что 1+ ω = ω. И более общим образом, n + ω = ω, где n — любой конечный порядковый тип. Сложение порядковых типов некоммутативно, но оказывается ассоциативным16 : α + (β+γ) = (α+β) + γ. Кантор определяет также и умножение порядковых типов, которое тоже не будет коммутативным (но будет ассоциативным).

Итак, исходя из интуиции множества, Кантор строит систему кардинальных чисел и систему ординалов или порядковых чисел. Каждому ординалу соответствует вполне определенный кардинал, а именно мощность любого вполне упорядоченного множества, которое представляет данный ординал. Обратное соответствие уже сложнее. Каждое множество определенной мощности можно вполне упорядочить многими способами (бесконечным

16

количеством способов, если оно бесконечно). Поэтому каждому бесконечному кардиналу соответствует бесконечное множество ординалов, которое Кантор называет числовым классом Z ( ).

3. Канторовская критика Аристотеля. Ориген и Фома Аквинат

Как мы уже сказали выше, канторовская критика традиционного неприятия актуальной бесконечности основана на вскрытии «предрассудков», т.е. подразумеваемых само собой разумеющимися представлений о бесконечном, как обладающем теми же свойствами, что и конечное. Бесконечное нужно изучать как таковое, а не навязывать ему свойств конечного, настаивает Кантор. Таковы прежде всего возражения против Аристотеля: «Однако если рассмотреть возражения, выдвигаемые Аристотелем против реального существования бесконечности (см., например, его «Метафизику», кн. XI, гл. 10), то по существу их можно свести к предпосылке, заключающей в себе petitio pricipii, именно к предпосылке, что существуют лишь конечные числа. Об этом он заключил из того, что ему был известен лишь счет на конечных множествах. Но я думаю, что выше я доказал, — и в ходе этой работы это обнаруживается еще отчетливее, — что и с бесконечными множествами можно производить столь же определенные действия счета, как и с конечными, предполагая, что множествам приписывается определенный закон, согласно которому они становятся вполне упорядоченными множествами»17 . Против возражений Аристотеля Кантор выдвигает новую конструкцию. В этом сила его аргументации, но в этом и ее слабость. «Изучение» бесконечного, к которому призывает Кантор, оказывается достаточно специфичным. Канторовская конструкция естественно поднимает вопрос: насколько она естественна? Возможны ли другие конструкции? Возможны ли другие обобщения понятия числа на область бесконечного? Сама себе голая конструкция ответа на эти вопросы не дает18 . Бесконечность, в силу самой своей сущности, оказывается очень неудобным «предметом», чтобы оценить всю совокупность возможных подходов к ней.

«Другой аргумент, выдвинутый Аристотелем против реальности бесконечного, — продолжает Кантор, — состоит в утверждении, что если бы существовало бесконечное, то конечное было бы разрушено им, так как конечное число будто бы унич- тожается бесконечным числом»19 . Кантор опять дает критику

17

этого аргумента исходя из своей конкретной конструкции. Сложение бесконечного и конечного числа интерпретируется им как сложение ординалов. Так если мы к ординалу , соответствующему множеству натуральных чисел, упорядоченному естественным образом, добавим любое конечное число n справа, тогда это n «не уничтожится»: ω = {e , e , ..., e ...}, n = {r , r , ..., r }

1 2 n 1 2 n

ω + n = {e , e , ...e ,..., r , r ,... r } > ω

1 2 k 1 2 n

Однако, n + ω = ω: если мы добавим n слева, то оно «уничтожится бесконечным»:

n + ω = {r , r , ...r , e , e , ...e ,... } = {e ,e , ...e ,... }.

«Только обратное действие, именно прибавление бесконеч- ного числа к конечному, когда сначала полагается конечное число, вызывает уничтожение последнего, не приводя к модификации первого. Эта правильная точка зрения на отношение между конечным и бесконечным, совершенно неизвестная Аристотелю, должна была бы вызвать новые идеи не только в анализе, но и в других науках, особенно в естествознании»20 [подчеркнуто мной — В.К.]. Невольно хочется здесь защитить Аристотеля. То, что эта точка зрения правильная — это еще под вопросом. То, что представлено, есть лишь некоторая точка зрения. Некоторая интерпретация аристотелевских рассуждений. И, главное, Аристотель скорее бы не согласился с такой интерпретацией. То есть это не было бы ответом на его рассуждения. Потому, что эта интерпретация связана с принятием многих предпосылок, которые чужды и Аристотелю, и античной мысли вообще.

Здесь налицо та самая несоизмеримость научных теорий, о которой столь пространно писал Т.Кун21 . Вводятся новые понятия и строятся новые научные теории, которые претендуют решить старые неразрешенные задачи. Однако эти новые решения существенно связаны с введением новых объектов, науч- ный статус которых (онтологический ли, или просто логический) сам достаточно проблематичен. Для науки нового времени актуальная бесконечность постоянно играла роль подобного объекта. Так Лейбниц «решил» задачу квадратуры круга: он «вычислил» площадь круга, т.е. выразил ее с помощью бесконечного ряда. Однако что это за объект — бесконечный ряд, легально ли его введение в математику, каковы необходимые логические

18

предпосылки этого введения — все эти вопросы оставались по существу открытыми вплоть до XIX века. По существу произошла замена одной проблемы на другую. Можно ли это считать решением задачи квадратуры круга, как ее понимала античность?22 . Канторовское настойчивое желание ввести «бесконечные числа» грешит все тем же: игнорированием логических границ между старой и новой теорией. Нужно было почти столетнее усилие методологической философской мысли, чтобы сегодня на пороге нового века мы научились лучше различать границы различ- ных эпистем.

С уважением относится Кантор к аргументам Оригена и Фомы Аквината против существования актуальной бесконечности. Из Оригеновского труда «О началах» Кантор цитирует следующее место: «Рассмотрим начало твари, каким бы ни создал это начало Ум Творца Бога. Должно думать, что в этом начале Бог сотворил такое число разумных, или духовных, тварей (или как бы ни назвать те твари, которые мы наименовали выше умами), сколько, по его предвидению, могло быть достаточно. Несомненно, что Бог сотворил их, наперед определив у себя некоторое число их. Ведь не должно думать, что тварям нет конца, как это желают некоторые, потому что где нет конца, там нет и никакого познания и невозможно никакое описание. Если бы это было так, то Бог, конечно, не мог бы содержать сотворенное или управлять им, потому что бесконечное* по природе — непознаваемо. И Писание говорит: Бог сотворил все мерою и числом (Премудр. Сол., XI, 21), и, следовательно, число правильно прилагается к разумным существам или умам в том смысле, что их столько, сколько может распределить, управлять и содержать Божественный Промысел. Сообразно с этим нужно приложить меру и к материи, которая, — нужно веровать, — сотворена Богом в таком количестве, какое могло быть достаточно для украшения мира»23 . В обозначенном звездочкой месте Кантор в скобках замечает: «Ориген всегда имеет в виду лишь ¥peiron и говорит, что если бы божественная мощь была ¥peiron, то Бог не мог бы познать самого себя». Другими словами, Кантор признает, что для Оригена бесконечное понимается всегда как безгранич- ное, т.е. как потенциальная бесконечность.

Из «Суммы теологии» Фомы Аквината Кантор цитирует следующее место: «1). Актуально бесконечного множества быть не может, поскольку всякое множество должно содержаться в ка- ком-либо виде множеств. Но виды множеств соответствуют ви-

19

дам чисел, а ни один вид чисел не может быть бесконечным, поскольку всякое число есть множество, измеренное единицей [буквально: одним]. Следовательно, актуально бесконечное множество существовать не может, как само по себе, так и по совпадению. 2). Кроме того, всякое существующее в природе множество сотворено; всякая же сотворенная вещь понимается как одно из проявлений какого-то намерения Творца, ибо Создатель ничего не делает бесцельно. Следовательно, необходимо, чтобы всякая созданная вещь понималась как число. Поэтому существование актуально бесконечного множества невозможно даже «по совпадению»24 . Фома утверждает: «Ни один вид чисел не может быть бесконечным», т.е. его позиция, по существу, не отличается от аристотелевской. Однако канторовское отношение к Фоме (как и к Оригену) странным образом «более уважительное», чем к Аристотелю. После приведенных цитат Кантор пишет: «Таковы два важнейших аргумента, выдвигавшиеся в течение веков против трансфинитного. Все другие высказывавшиеся доводы легко опровергнуть, заметив, что они основываются на ошибках в умозаключениях. Напротив, оба эти аргумента вполне обоснованы и их можно опровергнуть только положительным образом: показать и доказать, что трансфинитные числа и порядковые типы существуют в области возможного на том же основании, как и конечные числа, и что в трансфинитном имеетеся, в него в некотором роде укладывается даже значительно большее богатство форм и «species numerorum», чем в относительно малую область ограниченного конечного. Поэтому трансфиниты отвечают намерениям Творца и его абсолютно неизмеримому могуществу в такой же мере, как и конечные числа»25 . Здесь все спорно и зыбко. То, что «трансфинитные числа существуют в области возможного, [а существование в области возможного означало для Кантора непротиворечивость соответствующего математического конструкта — В.К.] на том же основании, как и конечные числа», — неверно. Непротиворечивость трансфинитных чисел лишь казалась Кантору очевидной. История развития теории множеств показала, что исследователей ожидали здесь сложнейшие апории. Во всяком случае, ко времени написания работы, из которой мы цитируем (1887), о непротиворечивости, как ее стали понимать в XX столетии, т.е. как о доказанном факте, речи еще не шло. Для Кантора непротиворечивость фактически означает здесь лишь существование некоторой математической конструкции, противоречий в которой еще не обнаружено. Что же касает-

20