1markov_l_a_otv_red_granitsy_nauki

рос: откуда же я знаю, что вполне упорядоченные множественности или последовательности, которым я приписываю кардинальные числа

действительно являются «множествами, в объясненном смысле этого слова, т.е. «консистентными множественностями»? Нельзя ли вообразить, что неконсистентными окажутся уже эти множественности и что противоречивость предположения о «совместном бытии всех их элементов» осталась еще незамеченной? Мой ответ на это состоит в том, что указанный вопрос относится и к конечным множественностям и что точное размышление приводит к такому результату: даже для конечных множественностей нельзя осуществить «доказательство» их «консистентности». Другими словами, факт «консистентности» конечных множественностей является простой недоказуемой истиной — это «аксиома арифметики» (в старом смысле слова). Равным образом, «консистентность» множественностей, которым я приписываю алефы в качестве кардинальных чисел, является «аксиомой обобщенной трансфинитной арифметики»62 . Мы уже встречались с подобным ходом мысли создателя теории множеств, когда говорили об интуитивной представимости чисел (конечных и бесконечных). И здесь мы можем повторить наши прежние аргументы. Консистентность конечных чисел мы можем отчасти «доказать»: малых чисел — рассматривая материальные множества, соответствующего количества, больших чисел — моделируя их на компьютере. И в последнем случае сегодня открываются многообещающие перспективы. Однако доказать консистентность любого, даже самого малого, актуально бесконечного множества, имеющего мощность , не представляется никакой воз-

o

можности. Принятие же этого существования за аксиому63 сразу делает всю теорию в высшей степени формальной. Все становится зыбким и гадательным...

Эта зыбкая трясина произвольных предположений, связанных с понятием консистентности, чувствуется и еще в одном моменте. Кантор говорит: «Речь идет всегда об определенных множественностях» (С. 35). Но, как оказывается, такая «определенная множественность» может оказаться и неконсистентной. Например, «совокупность всего мыслимого». Но можно ли неконсистентную множественность считать определенной? Можно

41

ли считать определенной «совокупность всего мыслимого»?.. Кантор явно так считает. Неконсистентные множественности можно даже сравнивать между собой: «Две эквивалентные совокупности или обе являются «множествами» или обе «неконсистентны»»64 . С некоторыми неконсистентными множественностями, может быть, и можно установить эквивалентности, но как, например, осуществить это с «совокупностью всего мыслимого»? То есть здесь также требуются какие-то дальнейшие условия и подразделения. Можно, конечно, опять поступить формально и ввести некоторую аксиому. Однако, вводя аксиомы в область столь «неoпознанных объектов», мы рискуем получить противоречивую систему. Противоречивость которой надо ведь тоже еще обнаружить и доказать...

Понятие неконсистентности нужно Кантору для положительных целей. А именно, система Ω всех ординальных чисел объявляется неконсистентной системой, т.е. ее нельзя рассматривать как единое целое. Иначе получается парадокс Бурали-Форти: если бы можно было рассматривать Ω как единое целое, то она имела бы порядковый тип δ, откуда следовало бы, что δ>δ. Понятие неконсистентности спасает от парадокса Бурали-Форти и дает возможность существовать шкале трансфинитных чисел Ω. Последняя должна для этого быть неконсистентной или абсолютно бесконечной множественностью, как называет ее по-другому Кантор. Аналогично обстоит дело и со шкалой мощностей (кардинальных чисел) или алефов. Последняя строится, исходя из шкалы Ω. Шкала эта есть последовательность

Ω

0 1 2 . . . ω0 ω0+1 . . . ω1 ω1+1 . . . ω2... ... ωn... ωω0 . .

порядковых типов вполне упорядоченных множеств. Некоторые «интервалы» этой шкалы представляют множества одной и той же мощности. Например, если ωo, есть порядковый тип счетного множества чисел

N = {0,1,2,...,n,...},

то ординальные типы

42

ωo + 1, ωo + 2, ωo + 3,..., 2 ωo,..., nωo,...

все соответствуют множествам также счетным, т.е. имеющим мощностью все то же первое трансфинитное кардинальное числоo. Но существует первый порядковый тип ω , который соответствует множеству уже большей мощности . Все1 порядковые числа α

1

такие, что

ω ≤ α < ω

01

Кантор обозначает Z ( ). Аналогично рассматривается класс Z ( ) , порядковых чисел0 β, таких, что

1

ω ≤ β < ω ,

1 2

ãäå ω — наименьшее порядковое число, которое соответствует множеству,2 кардинальное число которого отлично от и . Это новое кардинальное число обозначаем через 0 è ò.ä1.

2

Получается канторовская шкала мощностей, шкала алефов:

Кантор обозначает ее буквой t («тау» — последняя буква древнееврейского алфавита). Поскольку индексы всех алефов представляют собой все элементы шкалы Ω, то шкала алефов подобна (в смысле теории множеств) шкале Ω, и так же, как последняя, представляет собой неконсистентную абсолютно бесконечную последовательность. Кантор задает вопрос: все ли кардинальные числа наличны в этой шкале? Или, другими словами, существует ли множество, мощность которого не является алефом? Ответ отрицательный в том смысле, что если взять множество V, которому не соответствует никакой алеф в каче- стве мощности, то тогда V должно быть неконсистентной множественностью. Кантор набрасывает и вариант доказательства, использующего неконсистентность Ω. Доказательство это, впро- чем, неверно65 . И главная слабость его — в смутности понятия неконсистентного множества.

Утверждение о том, что система алефов представляет все возможные мощности, необходимо Кантору для того, чтобы утверждать сравнимость любых мощностей. Ведь все алефы сравнимы между собой и, если все кардиналы исчерпаны рядом t,

43

тогда можно утверждать, что для любых мощностей и имеет место только одно из трех соотношений:

>

<

=

Впрочем, в другом письме к Дедекинду Кантор признается , что доказательство это «косвенное», и желательно было бы иметь более прямое66 , т.е. более конструктивное, связанное с конкретным построением соответствия элементов двух множеств.

Заключая рассуждение о шкалах Ω и t Кантор пишет: «...Все множества «перечислимы» <abzählbar> в некотором расширенном смысле, в частности «перечислимы» все «континуумы»67 . Эту «перечислимость» можно понимать двояко. Во-первых, эти множества все, так сказать, «каталогизированы» согласно своим мощностям, и про любые два из них известно, «какое из них больше». И, во-вторых, каждому кардиналу соответствует целый класс Z ( ) порядковых чисел, представляющих собой символы всех возможных упорядочений данного множества мощности 68 . Другими словами, любое сколь угодно большое бесконечное множество может быть, так сказать, сложено из единиц с помощью трех канторовских принципов построения трансфинитных чисел: добавление единицы, взятие пределов и так называемого принципа ограничения69 . В частности, так должно получаться и множество, представляющее континуум, поскольку его мощность также находится в числе алефов70 .

Итак, утверждая неконсистентность шкалы всех ординалов, Кантор получал и сравнимость всех мощностей, и доказательство континуум-гипотезы. Есть еще один аспект понятия неконсистентности, напрямую связанный с канторовскими философско-богословскими представлениями. На этот момент обращает внимание в своей книге о Канторе Дж.Даубен. Он задает вопрос: почему Кантора, в отличие от других (например, Бурали-Форти), не пугала и не отталкивала неконсистентность Ω? Даубен замечает то, что канторовское представление об Абсолюте как бесконечности Бога и неконсистентность Ω обладают сходными чертами71 . Говоря о божественной бесконечности, создатель теории множеств подчеркивал, что эта бесконечность неизменяема, ее нельзя ни увеличить, ни уменьшить. И следовательно, она математически неопределима72 . Но также неопределима и шкала трансфинитных чисел: добавление к ней

44

вопневозможно в силу ее неконсистентности, отнятие же любого конечного отрезка не изменяет мощности больших трансфинитных чисел. Сам Кантор видел в шкале трансфинитных чисел некоторый символ вечности и приводил строку из стихотворения швейцарского натуралиста и поэта XVIII века Альбрехта фон Галера: «я его (чудовищно огромное число) отнимаю, а ты (вечность) лежишь целая передо мной»73 . Религиозно-мистические импликации были для Кантора устойчивым фоном его научной деятельности. Кантор понимал свою профессиональную деятельность одновременно и как выполнение определенной религиозной миссии — донести до человечества истину о трансфинитных числах, содержащихся в уме Бога. Даубен утверждает и нечто большее: «В конце концов, Кантор рассматривал трансфинитные числа как ведущие прямо к Абсолюту, к единственной «истинной бесконечности», величину которой невозможно ни увеличить, ни уменьшить, а только представить как абсолютный максимум, непостижимый в пределах человеческого понимания»74 . Шкала трансфинитных чисел оказывается в этом смысле своеобразной лестницей на небо, лестницей, ведущей к самому Абсолюту...

Именно поэтому, считает Даубен, Кантора и не смущали появляющиеся парадоксы теории множеств. Ведь речь шла о божественной Истине, во всей полноте понятной только божественному Уму. Для человеческого же ума, пытающегося схватить эту божественную бесконечность, неизбежно было впадать в противоречия и антиномии...

Однако — спросим мы со своей стороны — как же быть тогда с основным канторовским критерием математики — логи- ческой непротиворечивостью? Если божественная Истина того порядка, что была открыта в теории множеств, неизбежно оборачивается для человеческого ума противоречием, тогда нужно или отказаться от непротиворечивости как необходимого момента нашего знания, — и тогда непонятно, как же конкретно мы будем строить науку, — или, может быть, отказаться от претензий на обладание этим знанием, неизбежно сопряженным с противоречиями, т.е. выбрать ту позицию, которая традиционно была господствующей в европейской науке и философии от их античного истока до XIX века включительно. Но и в последнем случае остается вопрос о том, как проводить эту границу между человеческими и сверхчеловеческим в знании. Должна ли она проходить по разделу: конечное — бесконечное, или же в сферу доступного человеческому разуму должно входить и ка-

45

кое-то «не очень большое» бесконечное75 ? И если все-таки Кантор прав, в том смысле, что «к нашей конечной природе прилипло много от бесконечного»76 , то от чего зависит, сколько прилипло? Ведь сама история науки показывает, что для разных людей степень постижения бесконечности, — пусть, например, в форме теории множеств, — степень уверенности в адекватности этого знания, этого направления науки различны. Естественно напрашивающийся ответ на этот вопрос, в духе канторовского понимания религиозной стороны теории множеств, следующий. Поскольку постижение бесконечности есть постижение Божественной бесконечности, то оно есть, следовательно, познание Бога, приближение к Нему, вхождение в божественный Разум. Поэтому степень понимания есть степень близости к Богу. Именно степенью близости отдельного человеческого ума к Богу измеряется здесь возможность понимания.

Близость же человеческого ума к божественному Логосу понимается на Западе и на Востоке (т.е. в христианских культурах, генетически связанных с Византией) по-разному. На Востоке «вхождение в Разум Истины» рассматривается обычно как невозможное без глубокой духовной трансформации всего че- ловека. Разум мыслится здесь не как отдельная способность, а как способность, существенно определенная уровнем духовной жизни человека, его верой. Поэтому высоты гносиса доступны только нравственно чистым и благочестивым людям. Кантор же принадлежал к другой традиции. Из средневековой схоластики вырастает представление о самосущности человеческого разума, о его независимости от веры и духовной жизни. Согласно этому представлению, разум в богословии только используется, так же, как он может использоваться и в секулярной науке; сам же он автономен от веры и сущностно не изменяем. Из этого представления об автономном разуме и рождается постепенно секулярная философия и наука.

Отзвуки этого ясно слышатся в канторовском пафосе свободы математики, независимости ее от других сфер познания и культуры. Что означает эта независимость? Она означает, что, вообще говоря, познание есть дело чисто цеховое, дело профессионалов и мастеров и не требует для себя всего человека, не зависит от духовной и нравственной жизни человека. Несмотря на множество канторовских рассуждений о зависимости науки от метафизики и теологии77 , тем не менее утверждение свободы математики было для Кантора очень неслучайным. Именно че-

46

рез математику он надеялся обрести наиболее глубинный гнозис. Ведь именно исходя из математики, из теории множеств дает он критику традиционного богословского понимания Библии78 . Лицемерил ли Кантор в переписке с богословами, подтверждая зависимость науки от теологии? Конечно, нет. Но это были лишь убеждения ума; а наклонности сердца были глубже, сильнее и противоречивее...

Научное познание всегда символично. Наука работает не с самим предметом познания, а с его схемой, его символом. Не исключение здесь и математика. Об этом, как мы помним, говорил и сам Кантор79 . Уже большие числа мы не способны «представить» непосредственно и вынуждены прибегать к разного рода символам. Таким символом является, например, запись числа в какой-то (например, десятичной) системе счисления. Тем более трансфинитные канторовские числа есть лишь символы некоторых подразумеваемых реальностей: различных типов бесконечности. Символическое познание всегда неадекватно. Ведь мы берем в качестве знаков обычно нечто близкое и понятное нам и должны с помощью него выразить нечто иное, как правило, более отдаленное и сложное. В этом смысле канторовская полная шкала трансфинитных чисел , эта «лестница на небо», лестница от человеческого ума к божественному Логосу представляет собой титаническую попытку чисто символически исчерпать бесконечность Абсолютного, бесконечность Бога. Выразить высшее через низшее...

Трудно все-таки представить, что Кантор, занимаясь построением своей математической теории, действительно претендовал на адекватное познание Божества (пусть и, так сказать, одностороннее или, если угодно, «количественное»). Однако сохранившиеся документы говорят именно об этом. Так, освободившись в очередной раз из психиатрической клиники в Галле в 1908 году, Кантор написал письмо своему английскому корреспонденту математику Г.Ч.Янгу. В этом письме он говорит, в частности, о невозможности существования некого высшего трансфинитного числа, Genus supremum80 , точнее, о совершенно особом способе его существования : «Я никогда не исходил из какого-либо «Genus supremum» актуальной бесконечности. Совсем наоборот, я строго доказал абсолютное несуществование «Genus supremum» для актуальной бесконечности. То, что превосходит все конечное и трансфинитное, не есть «Genus»; это есть единственное, в высшей степени индивидуальное един-

47

ство, в которое включено все, которое включает «Абсолютное», непостижимое для человеческого понимания. Это есть «Actus Purissimus»81 , которое многими называется Богом»82 . Шкала возрастающих трансфинитных чисел, как считал Кантор, как раз и ведет к этому Actus Purissimus, Высшему Бытию, на «профанном» языке называемому Богом83 ...

Вместе с тем потерпела крушение одна из основных интенций теории множеств. Кантор с самого начала стремился преодолеть потенциальность роста, «дурную бесконечность» потенциальной бесконечности, стремился утвердить рассмотрение бесконечного как актуальной данности. Но, в конце концов, это оказалось в принципе невозможным. «Теория множеств, — писал чешский математик П.Вопенка, — усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалось неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу»84 .

III. Границы науки

1. Бесконечное в философии математики И.Канта

Математические конструкции теории множеств, как бы стремящиеся «дотянуться» до Абсолютного, до Бога, забрасывающие в пучину трансфинитного «якоря» новых аксиом, с фанатичной надеждой на то, что это позволит зацепиться за что-то твердое, производят впечатление чего-то титанического, или, используя классический библейский образ, впечатление Вавилонской башни, возводимой уже чисто теоретическими средствами. Мы говорили уже о возрожденческом духе, веящим со страниц канторовских произведений, в том его особом воплощении конца XIX — начала XX веков, которое получило название модернизма. Здесь существенной была вера в науку, в торжество человеческого разума, способного решить все проблемы, преодолеть сопротивление любой иррациональности. Канторовские теоретико-множественные построения стоят в этом смысле в одном ряду с конструктивным пониманием живописи, архитектуры, поэзии, музыки, с утопиями социализма, евгеникой, и т.д.85 . Рационализм XVII—XVIII веков как бы переживал здесь свое новое рождение, однако в таких масштабах и с такой принудительностью, что приходится говорить о демоническом ра-

48

ционализме. Неслучайна была и связь Кантора с Лейбницем. Не только допущение Лейбницем существования актуальной бесконечности было объединяющим началом здесь, но и общая глубокая убежденность в мощи человеческого разума. Кантор хотел «рассыпать» в точки континуум, и с помощью теории множеств чисто формально «сложить» опять из этих точек все физические, хими- ческие и биологические структуры. Лейбниц следующим образом описывал перспективы применения своего универсального алгоритма, «универсальной характеристики»: «Я думаю, что несколько специально подобранных людей смогли бы завершить дело [построение всей системы естествознания! — В.К.] в пределах пяти лет; а учения более близкие к жизни, т.е. доктрину моральную и метафизическую, полученную посредством неопровержимого исчисления, они смогли бы представить в течение двух лет»86 .

Неслучайным было и отталкивание Кантора от Канта. Кант был тем мыслителем, в котором новоевропейская наука начала осознавать свою специфику и, следовательно, свои границы. На- учный позитивизм XIX века, с которым столь яростно сражался Кантор, во многом питался кантовскими интенциями. Математика, по Канту, строится на базе априорных форм человеческой чувственности: пространства и времени. Последние же характерно конечны, что пресекает возможность создания каких-либо трансфинитных объектов. Так число определяется Кантом в рамках его учения о схематизме рассудочных понятий. «Чистая же схема количества (quantitatis) как понятия рассудка, — пишет Кант, — есть число — представление, объединяющее последовательное прибавление единицы к единице (однородной). Число, таким образом, есть не что иное, как единство синтеза многообразного [содержания] однородного созерцания вообще, возникающее благодаря тому, что я произвожу само время в схватывании созерцания»87 . Кант явно пишет о невозможности бесконечного числа: «...Понятие числа (относящегося к категории целокупности) не всегда возможно там, где даны понятия множества и единства (например, в представлении бесконечного)»88 .

При обсуждении так называемых антиномий чистого разума можно особенно наглядно убедиться, какую решающую роль играет конечность человеческих познавательных способностей у Канта. Так в доказательстве тезиса первой антиномии, точнее, положения о том, что мир ограничен в пространстве, Кант рассуждает следующим образом: «...Допустим опять противоположное утверждение, что мир есть бесконечное данное целое из

49

одновременно существующих вещей. Но размер такого количе- ства, которое не дается в определенных границах того или иного созерцания, мы можем представить себе не иначе как только посредством синтеза частей, и целокупность такого количества — только посредством законченного синтеза или посредством повторного прибавления единицы к самой себе»89 . Здесь Кант делает примечание: «Понятие целокупности обозначает в таком случае не что иное, как представление о законченном синтезе его частей. В самом деле, так как мы не можем вывести это понятие из (невозможного в этом случае) созерцания целого, то мы можем постичь это понятие, по крайней мере в идее, только посредством синтеза частей, продолжающегося до завершения бесконечного»90 . Другими словами, актуально бесконечное целое мира не может быть дано целиком, к нему можно только приближаться последовательно, «по конечным частям». Но это бесконечное перечисление конечных частей требует бесконеч- ного же и времени: «...пришлось бы рассматривать бесконечное время при перечислении всех сосуществующих вещей как прошедшее, что невозможно»91 . Кант допускает тем самым только

потенциальную бесконечность. В Примечании к тезису этой антиномии он пишет: «Истинное (трансцендентальное) понятие бесконечности заключается в том, что последовательный синтез единицы при измерении количества никогда не может быть закончен»92 . Выражаясь канторовским языком, можно сказать, что Кант допускает только первый принцип образования чисел, т.е. переход от n к (n + 1), но не разрешает второй принцип, с помощью которого, в частности, Кантор делает переход от конечных чисел к ω — первому трансфинитному числу. В девятом разделе Антиномий чистого разума, говоря о регулятивном применении космологических идей чистого разума, Кант высказывается еще осторожней: «...Я не могу сказать, что мир в отношении прошедшего времени или пространственно бесконечен. Такое понятие величины как данной бесконечности эмпирически ведь невозможно, стало быть, оно безусловно невозможно в отношении мира как предмета чувств. Я не могу также сказать, что регресс от данного восприятия ко всему тому, чем оно ограни- чивается в ряду в пространстве и в прошедшем времени, идет в бесконечность: такое утверждение предполагает бесконечную величину мира. Я не могу также утверждать, что этот регресс конечен, так как абсолютная граница также эмпирически невозможна. Таким образом, я ничего не могу сказать обо всем предме-

50