125 Кібербезпека / Магістр (вступні питання)

Побудуємо багаточлен Ньютона:

Q=-1+3x+6(x(x-1))+1(x(x-1)(x-2))+0=-1+3x+6x2-6x+x3-2x2-x2+2x=x3+3x2-x-1

Висновки:

1.За допомогою аналітичної залежності можливо отримати значення функції для , які знаходяться між точками дослідження. отримуємо це називається задачею інтерполяції.

2.За допомогою аналітичної залежності можна отримати значення функції за межами інтервалу дослідження. Наприклад, при

. Дана задача називається екстраполяцією або прогнозуванням.

106. Загальні поняття і визначення диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку

При розв'язуванні різноманітних задач фізики, хімії, математики, та інших точних наук часто користуються математичними моделями у вигляді рівнянь, що зв'язують одну або декілька незалежних змінних, невідому функцію цих змінних і похідні (або диференціали) цієї функції. Такого сорту рівняння називають

диференціальними.

Якщо незалежна змінна одна, то рівняння називається звичайним; якщо незалежних змінних дві або більше, то рівняння називається диференціальним рівнянням з частинними похідними. З метою отримати високоваліфікованих спеціалістів у всіх ВУЗах де вивчають точні дисципліни обов'язковим є курс диференціальних рівнянь. Для одних студентів теорія дається тяжка, практика ще з горем пополам, для інших важка і теорія, і практика. Якщо аналізувати диференціаьні рівняння з практичної сторони, то для їх обчислень Вам потрібно лише добре вміти інтегрувати та брати похідні. Все решта зводиться до кількох схем, які можливо зрозуміти та вивчити. Нижче Ви ознайомитеся з основними означеннями та першими простими диф. рівняннями.

Теорія диференціальних рівнянь

Означення: Звичайним диференціальним рівнянням називають рівняння, яке в собі зв'язує незалежну змінну х, функцію у(х) та похідні у'(х), уn(х) і має загальний вигляд F(x,y(x),y' (x), …, yn(x))=0

Диференцiальним рiвнянням (ДР) називається або звичайне диференцiальне рiвняння, або диференцiальне рiвняння з частинними похiдними. Порядок диференціального рівняння визначається порядком старшої похідної (n), яка входить до даного диференціального рівняння.

Загальним розв'язком диференціального рівняння називається функція, яка містить стільки сталих, який порядок диференціального рівняння, і підстановка

якої в дане диференціальне рівняння перетворює його в тотожність, тобто має вигляд y=f(x, C1, C2, …, Cn).

Загальний розв'язок, який не розв'язаний відносно у(х) і має вигляд F(x,y,C1,C2, …,

Cn)=0 називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Розв'язок, знайдений із загального розвязку при фіксованих значеннях сталих C1,C2, …, Cn називається частинним розв'язком диференціального рівняння.

Одночасне задання диференціального рівняння і відповідної кількості початкових умов називається задачею Коші.

F(x,y,C1,C2, …, Cn)=0 y(x0)=y0;

…. yn(x0)=yn(0)

Звичайним диференцiальним рiвнянням першого порядку називається рiвняння вигляду

F(x, y, y')=0. (1)

Iнтегралом рiвняння (1) називається cпiввiдношення вигляду Φ(x, y)=0, якщо кожна неявно задана ним неперервно-диференцiйовна функцiя є розв'язком рiвняння (1).

Рівняння, яке має вигляд (1) і не може бути зведене до простішого вигяду називається рiвнянням, нерозв'язним стосовно похiдної. Якщо його можна записати у виглядi

y' = f(x,y), то воно називається рiвнянням, розв'язаним стосовно похiдної. Задача Коші для рівняння першого порядку містить лише одну початкову умову і має вигляд:

F(x,y,y')=0 y(x0)=y0.

Рiвняння вигляду

M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)

а змiннi x i y є "симетричними": можна припускати, що x – незалежна, а y – залежна змiнна, або, навпаки, y – незалежна, а x – залежна змiнна,

називається рiвнянням в симетричнiй формі.

Геометричний зміст диференціаьного рівняння першого порядку y'=f(x, y) (3)

полягає в наступному.

Дане рівняння встановлює зв ' язок ( залежність ) між координатами точки (x; y) і кутовим коефіцієнтом y' дотичної до інтегральної кривої, що проходить через цю точку . Таким чином, рівняння y'=f(x, y) дає сукупність напрямів ( поле напрямів ) на декартовій площині Oxy.

Крива, побудована на точках, в яких напрям поля однаковий, називається ізокліною. Ізоклінами можна користуватися для наближеної побудови інтегральних кривих . Рівняння ізокліни можна одержати, якщо покласти похідну рівну сталій y'=С

f(x, y)=С - рівняння ізокліни.

Iнтегральною лiнiєю рiвняння (3) називається графiк розв'язку цього рiвняння. Звичайнi диференцiальнi рiвняння, розв'язки яких можна задати

аналітично y=g(x), називаються iнтегровними рiвняннями. Рiвняння вигляду

M0(x)dx+N0(y)dy=0 (3)

називаються рiвняннями з вiдокремленними змiнними.

З них і розпочнемо знайомство з диференціальними рівняннями. Процес знаходження розв'язків диференціального рівняння ще називають інтегруванням

диференціального рівняння.