125 Кібербезпека / Магістр (вступні питання)

об‘єкта моделювання. Необхідно формалізувати змінні моделі та зв‘язки між ними. Математичний опис моделі складається на основі законів фізики, хімії тощо, які характеризують динаміку і статику процесів в досліджуваному об'єкті, і виражається на мові будь-яких розділів математики. Найбільше поширення при побудові детермінованих моделей набули алгебраїчні рівняння та системи, звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння в частинних похідних, матрична алгебра, а при стохастичному моделюванні і методи теорії імовірності, математичної статистики та теорії випадкових процесів. Якщо апріорні відомості про об'єкт недостатні, вигляд математичних моделей уточнюється за допомогою методів багатовимірної статистики:

регресійного, кореляційного, багатофакторного і інших аналізів, а також проведення пасивного або планування активного експериментів. Для більшості складних об‘єктів структура моделі містить параметри, які відображають особливості конкретних об‘єктів. Пошук значень цих параметрів відбувається за допомогою методів параметричної ідентифікації на основі проведення пасивного або активного експериментів.

Поняття коректності задачі має важливе значення в процесі моделювання. Адже, наприклад, чисельні методи розв‘язку задач доцільно застосовувати лише до коректно поставлених задач. При цьому, не всі практичні задачі можна вважати коректними. Математична модель є коректною, якщо для неї отримано позитивний результат по всіх контрольних перевірках: розмірності, порядку, характеру залежностей, граничних умов,

фізичного сенсу тощо.

Для математичної моделі обирається один з методів розв‘язку, який дозволяє при заданих значеннях вхідних змінних отримати значення вихідних змінних. Вибір методу обгрунтовується на підставі властивостей моделі, даних про точність вимірювання значень змінних, вимог до точності та швидкості отримання розв‘язку.

Необхідною умовою для переходу від дослідження об‘єкта до дослідження моделі і подальшого перенесення результатів на об‘єкт моделювання є вимога адекватності моделі об‘єкту. Адекватність – це

відтворення моделлю з необхідною повнотою всіх властивостей об‘єкта,

важливих для цілей даного дослідження. Як правило, адекватність моделі визначається на підставі статистичних оцінок розбіжностей значень вихідних змінних моделі та об‘єкту при однакових значеннях вхідних змінних,

розрахованих за результатами серії експериментів на об‘єкті моделювання. Для перевірки адекватності моделі використовуються дані іншої серії експериментів, ніж для параметричної ідентифікації. Відмінність значень виходу моделі та об‘єкту може бути обумовлена наступними причинами:

спрощеність моделі;

похибка чисельних методів;

похибка вимірювальних пристроїв;

а похибка, пов‘язана з переходом між десятичною і двійковою системами числення та особливостями комп‘ютерних обчислень.

Якщо модель не задовольняє критеріям адекватності, необхідно крок за кроком перевірити коректність розробки на всіх етапах:

умови проведення експерименту та правильність вимірювання і фіксування його результатів;

правильність програмної реалізації алгоритмів;

адекватність результатів параметричної ідентифікації;

обгрунтованість вибору методу розв‘язку моделі;

коректність математичного опису явищ та характеристик об‘єкту;

Після успішної перевірки адекватності модель може бути застосована в задачах прогнозу та дослідження об‘єкта.

Метод математичного моделювання дозволяє виключити необхідність виготовлення громіздких фізичних моделей, пов'язаних з матеріальними витратами; скорочувати час визначення характеристик (особливо при розрахунку математичних моделей на комп‘ютері і вживанні ефективних обчислювальних методів і алгоритмів); вивчати поведінку об'єкту моделювання при різних значеннях параметрів; аналізувати можливість застосування різних

елементів; отримувати характеристики і показники, які складно отримувати експериментально (кореляційні, частотні, параметричної чутливості).

Класифікація математичних моделей

Класифікація в будь-якій області знань надзвичайно важлива. Вона дозволяє узагальнити накопичений досвід, упорядкувати поняття предметної області. Не є виключенням в цьому сенсі і математичне моделювання. У

таблиці 2.1 показані види математичних моделей за різними ознаками класифікації.

Таблиця 2.1

Класифікація математичних моделей

Приведена класифікація математичних моделей може бути застосована по відношенню до будь-яких об‘єктів. Ми розглянемо особливості різних видів моделей стосовно об‘єктів (процесів) в машинобудуванні.

Математичні моделі на мікрорівні виробничого процесу відображають фізичні процеси, що протікають, наприклад, при проколюванні матеріалу.

Математичні моделі на макрорівні виробничого процесу описують технологічні процеси.

Математичні моделі на метарівні виробничого процесу описують

технологічні системи (ділянки, цехи, підприємство в цілому).

Структурні математичні моделі призначені. для відображення структурних властивостей об‘єктів, тобто його складових частин

Функціональні математичні моделі призначені для відображення інформаційних, фізичних, тимчасових процесів, що протікають в працюючому устаткуванні, в ході виконання технологічних процесів і т.д.

Аналітичні математичні моделі є явні математичні вирази вихідних параметрів як функцій від параметрів вхідних і внутрішніх.

Аналітичне моделювання засноване на непрямому описі модельованого об‘єкту за допомогою набору математичних формул. Мова аналітичного опису містить наступні основні групи семантичних елементів: критерій (критерії),

невідомі, дані, математичні операції, обмеження. Найбільш істотна характеристика аналітичних моделей полягає в тому, що модель не є структурно подібною до об‘єкту моделювання. Під структурною подібністю тут розуміється однозначна відповідність елементів і зв‘язків моделі елементам і зв‘язкам модельованого об‘єкту. До аналітичних відносяться моделі,

побудовані на основі апарату математичного програмування, кореляційного,

регресійного аналізу. Аналітична модель завжди є конструкцією, яку можна проаналізувати і вирішити математичними засобами. Так, якщо використовується апарат математичного програмування, то модель полягає в основі своїй з цільової функції і системи обмежень на змінні. Цільова функція,

як правило, виражає ту характеристику об‘єкту (системи), яку потрібно обчислити або оптимізувати.

Важливим моментом є розмірність конкретної аналітичної моделі. Часто для реальних технологічних систем (автоматичних ліній, гнучких виробничих систем) розмірність їх аналітичних моделей така велика, що отримання оптимального рішення виявляється досить складним з обчислювальної точки зору. Для підвищення обчислювальної ефективності в цьому випадку використовують різні прийоми. Один з них пов‘язаний з розбиттям завдання великої розмірності на підзадачі меншої розмірності так, щоб автономні

рішення підзадач в певній послідовності давали рішення основної задачі. При цьому виникають проблеми організації взаємодії підзадач, які не завжди виявляються простими. Інший прийом припускає зменшення точності обчислень, за рахунок чого вдається скоротити час вирішення задачі.

Алгоритмічні математичні моделі виражають зв‘язки між вихідними параметрами і параметрами вхідними і внутрішніми у вигляді алгоритму.

Імітаційні математичні моделі – це алгоритмічні моделі, що відображають розвиток процесу (поведінка досліджуваного об‘єкту) в часі,

коли задані зовнішніх дій на процес (об‘єкт). Наприклад, це моделі систем масового обслуговування, задані в алгоритмічній формі.

Імітаційне моделювання засноване на прямому описі модельованого об‘єкту. Істотною характеристикою таких моделей є структурна подібність об‘єкту і моделі. Це означає, що кожному істотному з погляду вирішуваної задачі елементу об‘єкту ставиться у відповідність елемент моделі. При побудові імітаційної моделі описуються закони функціонування кожного елементу об‘єкту і зв‘язку між ними.

Робота з імітаційною моделлю полягає в проведенні імітаційного експерименту. Процес, що протікає в моделі в ході експерименту, подібний до процесу в реальному об‘єкті. Тому дослідження об‘єкту на його імітаційній моделі зводиться до вивчення характеристик процесу, що протікає в ході експерименту.

Цінною якістю імітації є можливість управляти масштабом часу.

Динамічний процес в імітаційній моделі протікає в так званому системному часі. Системний час імітує реальний час. При цьому перерахунок системного часу в моделі можна виконувати двома способами. Перший спосіб полягає в

«русі» за часом з деяким постійним кроком. Другий спосіб полягає в «русі» за часом від події до події, при цьому вважається, що в проміжках часу між подіями в моделі змін не відбувається.

Теоретичні математичні моделі створюються в результаті дослідження об‘єктів (процесів) на теоретичному рівні. Наприклад, існують вирази для сил різання, отримане на основі узагальнення фізичних законів. Але вони не

прийнятні для практичного використання, оскільки дуже громіздкі і не зовсім адаптовані до реальних процесів обробки матеріалів.

Емпіричні математичні моделі створюються в результаті проведення експериментів (вивчення зовнішніх проявів властивостей об‘єкту за допомогою вимірювання його параметрів на вході і виході) і обробки їх результатів методами математичної статистики.

Детерміновані математичні моделі описують поведінку об‘єкту з позицій повної визначеності в сьогоденні і майбутньому. Приклади таких моделей : формули фізичних законів, технологічні процеси обробки деталей.

Імовірнісні математичні моделі враховують вплив випадкових чинників на поведінку об‘єкту, тобто оцінюють його майбутнє з позицій ймовірності тих або інших подій. Приклади таких моделей: опис очікуваних довжин черг в системах масового обслуговування, очікуваних об‘ємів випуску надпланової продукції виробничою ділянкою, точність розмірів в партії деталей з урахуванням явища розсіювання і т.д.

85. Імітаційне моделювання. Етапи імітаційного моделювання

Імітаційне моделювання – числові розрахунки для отримання статистичної вибірки на математичній моделі для оцінки імовірних характеристик шуканих величин. В імітаційному моделюванні особливого значення набуває точність моделі. Зайве підвищення точності може призвести до труднощів в разі її реалізації на комп'ютері. Якщо вважати, що досліджуваний об'єкт є складною системою і взаємодії між її елементами характеризують стан системи, то цей стан може бути зафіксований упорядкованим набором чисел, в іншому випадку – вектором. У деяких випадках під імітаційною моделлю розуміють формальний математичний спосіб опису зміни станів у часі.

У звичайній імітаційній моделі для відображення реальних подій використовують випадкові величини. Для реалізації моделі на комп'ютері виникає потреба у відтворенні випадкових процесів з високою точністю. Для цього використовують низку процедур для генерації випадкових величин –

машинні алгоритми, які є модифікацією мультиплікативного конгруентного методу. Отримана таким чином послідовність рівномірного розподілу випадкових чисел може призвести до появи послідовності випадкових величин,

підпорядкованих іншим законам розподілу. Такими методами є перетворення,

композиція, пряма вибірка, компенсація тощо.

Одна з основних причин застосування методу імітації для аналізу моделей економічних систем аналогічно до застосування традиційних аналітичних методів (диференціальне і варіаційне числення, математичне програмування) – пошук наукових знань про поведінку певних економічних систем, експериментувати з якими часто недоцільно або неможливо. Під час спостереження за економічною системою може з'ясуватися, що для аналітичного дослідження бракуватиме інформації. Проте її може бути достатньо для побудови гіпотез про імовірність розподілу на якомусь відрізку часу деяких з використовуваних показників чи оцінок трендів, що дає змогу генерувати показники спостережень цієї економічної системи на основі вибраної гіпотези імовірнісного розподілу певних показників або часових трендів. Ці псевдоспостереження за системою використовують для аналізу її поведінки за допомогою моделі. Таким чином, відсутність даних спостережень системи компенсується генерованими показниками відповідно до вибраних гіпотез та їх імовірнісного розподілу.

Дослідження динамічної економічної системи, яка функціонує в умовах невизначеності, надзвичайно складне. Побудова математичної моделі та експеримент з її допомогою можливий лише з використанням методів імітації,

за яких експериментальне вивчають внутрішні взаємодії у досліджуваній системі, зміни у впливі зовнішнього середовища на неї. Для визначення реакції системи на певні інформаційні та організаційні зміни в її модель вносять відповідні зміни і досліджують впливи їх на поведінку системи. Спостереження за нею, вивчення її за допомогою моделі дає змогу краще зрозуміти систему і внести пропозиції щодо поліпшення її структури та функціонування, які без імітації виробити було б неможливо.

Основні етапи побудови імітаційної моделі

У найбільш узагальненому вигляді перелік видів робіт включає:

1.Побудову імітаційної моделі, яка має бути представлена у вигляді логічної структурної схеми.

2.Розробку методики імітаційного моделювання, включаючи методику планування експериментів та методику статистичної обробки інформації.

3.Створення програмного забезпечення імітаційного моделювання за допомогою загальноприйнятих засобів програмування чи спеціалізованих мов імітаційного моделювання.

4.Проведення машинної імітації на ЕОМ, аналіз та узагальнення результатів, прийняття рішення щодо можливого уточнення імітаційної моделі.

Розглянемо детальний аналіз дій, що виконуються на етапі побудови імітаційної моделі. Інші види робіт описані в інших темах навчальної дисципліни.

Послідовність складання імітаційної моделі передбачає такі кроки:

визначення задачі та її аналіз;

визначення вимог до інформації;

збирання інформації;

висування гіпотез і прийняття припущень;

встановлення основного змісту моделі;

визначення параметрів, змінних і критеріїв ефективності;

опис концептуальної моделі й перевірка її вірогідності;

побудова логічної структурної схеми (блок-схеми).

На першому етапі моделювання конкретного об‘єкта (системи) на ЕОМ необхідно побудувати концептуальну модель процесу функціонування цієї системи, а потім провести її формалізацію. Іншими словами, основним змістом цього етапу моделювання є перехід від загального опису системи за допомогою висловів до її математичного опису. Найбільш відповідальними моментами у цій роботі є спрощений опис системи, тобто відокремлення самої системи від зовнішнього середовища та вибору основного змісту моделі

Під час вибору основного змісту моделі відкидається все другорядне з точки зору мети, яка ставиться при моделюванні.

Щоб глибше зрозуміти зміст етапів та підходів до моделювання процесу функціонування системи, розглянемо конкретні дії під час моделювання деякої реальної системи.

Мета моделювання полягає в отриманні характеристик часу та ймовірності процесу функціонування фрагменту локальної мережі (ЛС).

Ефективність різних варіантів побудови мережі та її фрагментів визначається за допомогою таких показників: середнього часу передачі даних та ймовірністю відмови обладнання мережі, вартості мережі. На практиці часто буває необхідно прийняти рішення щодо вибору топології мережі у конкретній установі.

На етапі постановки задачі імітаційного моделювання необхідно:

1)звернути увагу на існування задачі та необхідність машинного моделювання;

2)дослідити задачу за матеріалами літературних джерел;

3)дати чітке формулювання задачі;

4)вибрати методику розв‘язування;

5)з‘ясувати наявність ресурсів, необхідних для моделювання задачі на комп‘ютері;

6)визначити масштабність задачі та можливість її поділу на окремі

підзадачі;

7)визначити послідовності розв‘язання підзадач.

86. Елементи теорії множин та відношення. Дії над множинами.

Властивості дій над множинами

Елементи теорії множин Поняття множини. Поняття множини є первісним поняттям, тобто

таким, якому не дається означення. Можна говорити про множину N усіх натуральних чисел, множину Z усіх цілих чисел, множину Q усіх раціональних чисел і т. д. Творець теорії множин Георг Кантор (1845-1919) розумів множину як зібрання певних та різних об'єктів нашої інтуїції або інтелекту, які сприймаються в якості цілого.

Множина вважається визначеною, якщо про будь-який об'єкт, що розглядається, можна сказати, що він належить або не належить цій множині. Якщо деякий елемент X належить множині A, то пишуть . Якщо

елемент X не належить множині A, то це записують так: .

Нехай X– деяка фіксована множина (іноді її називають основною) і P– певна властивість, яку мають деякі елементи . Множина всіх елементів , що належать множині X і мають властивість P,позначається таким чином:

або .

Наприклад, якщо в значенні основної множини взяти множину Z, то

Дії над множинами. Множина А називається підмножиною множини В,

складається з елементів, кожен із яких належить множині А або множині В.