125 Кібербезпека / Магістр (вступні питання)

На наступному кроці до кожного неголовного рядка (в даному випадку це будуть рядки під номером один, два та три) матриці додамо головний рядок (третій рядок) помножений на відповідний для нього множник . Даний процес описується формулою (4). В результаті отримаємо матрицю наступного виду:

Далі, викреслюючи четверту колонку і третій (головний) рядок, отримаємо матрицю , яка складається з меншого на одиницю числа рядків і колонок:

Після цього переходимо до етапу номер два, і над отриманою матрицею повторюємо тіж операції, а саме:

1.Вибираємо головний елемент: .

2.Для першого і другого рядка матриці обчислюємо множники :

3.До кожного неголовного рядка (в даному випадку це будуть рядки під номером один та два) матриці додамо головний рядок (третій рядок) помножений на відповідний для нього множник . Результатом виконання даного кроку буде матриця виду:

4.Далі, викреслюючи третій стовпець і третій (головний) рядок, отримаємо матрицю , після чого, переходимо до третього етапу:

Етап номер три:

1.Вибираємо головний елемент: .

2.Для другого рядка матриці обчислюємо множник :

3.До кожного неголовного рядка (в даному випадку це буде рядок під номером два) матриці додамо головний рядок (перший рядок) помножений на відповідний для нього множник . Результатом виконання даного кроку буде матриця виду:

4.Далі, викреслюючи другий стовпець і перший (головний) рядок, отримаємо матрицю , яка складається з одного рядка і двох колонок:

На цьому процедуру приведення матриці до трикутного вигляду можна вважати завершеною. Переходимо до визначення невідомих . Для цього, як уже зазначалося вище, об'єднуємо в систему, починаючи з останнього, який входить в матрицю , всі головні рядки. В результаті отримуємо систему з допомогою якої, легко знаходимо невідомі:

Зауваження: для отримання системи трикутної форми, за бажанням можна зробити відповідну перестановку рядків та колонок. Крім того відмітимо, що при перестановці стовпців змінюється порядок невідомих, тому в цьому випадку треба запам'ятати новий їх порядок. Для цього, як правило, формується масив з елементами, відповідними порядку невідомих. Спочатку там повинен бути забезпечений порядок невідомих, наприклад, як у нашому випадку від 1 до 4. Після цього, у міру перестановки стовпців, відповідні елементи даного масиву теж треба поміняти місцями.

105. Інтерполяція і наближення функцій

Так, якщо в результаті інженерного або наукового експерименту отримана

система точок: , то дуже часто виникає задача пошуку аналітичної залежності, яка б зв‗язувала експериментальні дані у вигляді

функція , що ―найкращим чином‖ наближається до заданої табличної функції. Звичайно ―найкращим чином‖ – це критерій, в якості якого використовується критерій середньо квадратичного відхилення (СКВ), заснований

експериментальної (при і=0, 1, …, k) повинна бути мінімальною:

дані , отримані в результаті інженерного або наукового експерименту.

Рисунок 5.1 – Класифікація чисельних методів наближення табличних функцій

5.2 Математична постановка задачі інтерполювання

В економіці і техніці постійно приходиться зіштовхуватися з необхідністю

обчислення значень функції в точках , відмінних від значень аргументу, фіксованих в таблиці експериментальних досліджень. Крім того, в

деяких випадках, незважаючи на те, що аналітичний вираз функції відомий, він є занадто складним і незручним для подальших математичних

Слідує відмітити, що задача інтерполювання стає однозначною, якщо в якості

Рисунок 5.2 – Геометрична інтерпретація інтерполяції табличної функції

У випадку, коли береться з класу степеневих функцій, інтерполяція називається параболічною. Цей спосіб наближення ґрунтується на тому, що на

невеликих відрізках експериментальна функція може бути достатньо добре апроксимована параболою певного порядку. Якщо в якості інтерполяційної функції використовувати багаточлен виду:

(5.1)

то така інтерполяція називається степеневою

Інколи доцільно використати інші види інтерполяції. Якщо функція, що

досліджується, – періодична, то в якості інтерполяційної функції ( ) вибирають тригонометричну, наприклад, виду:

(5.2)

і така інтерполяція називається тригонометричною. В деяких в якості інтерполяційної функції ( ) вибирають раціональні функції.

При інтерполюванні виникає ряд задач:

1. вибір найбільш зручного способу побудови інтерполяційної функції для кожного конкретного випадку;

інтерполяції ; 3. оптимальний вибір вузлів інтерполяції для отримання мінімальної похибки.

Для задачі інтерполювання важливим є визначення того, як повинна вести себе інтерполяційна функція між заданими точками, так як ці точки можуть бути інтерпольовані множиною різноманітних функцій, і необхідно мати певний критерій вибору. Звичайно критерій формується в термінах гладкості та простоти. Більшість інтерполяційних функції генеруються лінійними комбінаціями

найпростіших функцій. Лінійні комбінації одночленів формують степеневі

функцій є множина алгебраїчних поліномів. Поліноми мають переваги з точки зору алгоритмізації, тому що їх значення легко обчисляти, додавати, перемножувати, інтегрувати чи диференціювати. Важливою властивістю

любого існують поліном pn(x) ступеня n такий, що .

5.2.1 Інтерполяційний багаточлен Лагранжа

Найбільш загальною формулою параболічного інтерполювання є інтерполяційна формула Лагранжа. Задача параболічного інтерполювання в

одного на відрізку , іншими словами, вузли інтерполяції не рівновіддалені,

порядку ( ). Тоді задача інтерполювання зводиться до пошуку невідомих

,(5.3)

де і табличні значення аргументу і функції, що досліджується. Невідомі коефіцієнти знаходяться по формулам Крамера:

, (5.4)

де - визначник системи (5.3).

Якщо (тобто коли різні), то система (5.3) має єдиний розв‘язок.

Якщо знайти коефіцієнти , можна уявити інтерполяційний багаточлен у вигляді

Перепишемо багаточлен в іншій формі:

дорівнює 1.

Остаточно отримаємо вираз (5.7)

(5.7)

Цей багаточлен називається інтерполяційним багаточленом Лагранжа. В

спрощеному вигляді його можна записати так:

(5.8)

Даний метод легко алгоритмізується і може використовуватися для розробки програм інтерполяції. Схема алгоритму метода представлена на рисунку 5.3.

Рисунок 5.3 – Схема алгоритму метода Лагранжа

Приклад: Побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа для функції заданої таблично.

n=4; m=n-1=4-1=3. Припустимо, що y=a0+a1x+a2x2+a3x3.

Слід пам‘ятати, що при екстраполяції функції, чим далі значення х від інтервалу спостереження, тим отримане значення функції містить більшу похибку.

2. Використовуючи отриманий багаточлен можливо знайти будь-яке значення

функції для заданого . Наприклад, для 3. Використовуючи інтерполяційний багаточлен можливо отримати значення

Для оцінки похибки інтерполяційного багаточлена Лагранжа використовують формулу:

,

причому , при

5.2.2 Перша інтерполяційна формула Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції

тобто , то для побудови її аналітичної залежності зручно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона.

Для виводу інтерполяційних формул для рівновіддалених вузлів інтерполяції вводиться поняття кінцевої різниці.

Поставимо наступну задачу: для функції , яка задана таблицею

кроком h, тобто , побудувати кінцеві різниці.

Кінцевою різницею першого порядку називається різність між значеннями функції в сусідніх вузлах інтерполяції:

порядку:

,

або в технічної літературі використовують наступну формулу кінцевої різниці -го порядку:

Зробивши всі підстановки, отримаємо:

Обчислимо першу кінцеву різницю багаточлена в точці Тут також всі члени, окрім першого, обернуться в нуль, і, отже, але

(5.11)

На практиці часто використовують формулу Ньютона в іншому вигляді. Для

цього введемо заміну де крок інтерполяції, а q - число кроків. Тоді перша інтерполяційна формула Ньютона прийме наступний вигляд:

(5.12)

Формулу (5.12) зручно використати для інтерполювання на початку відрізку інтерполяції , де q мале за абсолютною величиною.

Якщо за число вузлів інтерполяції прийняти , то отримаємо формулу лінійного інтерполювання

інтерполювання

На практиці часто буває необхідно зменшити крок інтерполяції якої-небудь таблиці з рівновіддаленими аргументами. В таблиці можна вважати, що кількість

вузлів інтерполяції необмежена. Тоді вибирають так, щоб кінцева різниця

була постійна з заданим ступенем точності. За початкове значення можна вибирати будь-яке значення аргументу.

Схема алгоритму інтерполяції табличної функції багаточленом Ньютона представлена на рисунку 5.4.

Рисунок 5.4 – Схема алгоритму інтерполяції табличної функції багаточленом Ньютона

Приклад. Припустимо, що результати експерименту представлені в таблиці

5.2(перших три стовпця)

Зтаблиці видно, що