Тема 6. Производная и дифференциал

Производная функции. Таблица производных основных функций. Геометрический смысл производной. Дифференциал функции. Правила дифференцирования. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Исследование функций с помощью производной. Локальный экстремум функции. Необходимые условия экстремума. Критические точки. Условия возрастания и убывания функций. Достаточные условия существования экстремума. Выпуклость функции. Достаточные условия строгой выпуклости. Точки перегиба. Достаточные условия перегиба.

Приложения дифференцируемых функций. Исследование функциональных зависимостей экономических переменных, их роль в менеджменте. Эластичность функции и ее применение в менеджменте и экономическом анализе, коэффициенты эластичности. Абсолютные и относительные величины в экономическом анализе. Определение и геометрическая интерпретация суммарных, средних и предельных величин. Соотношение между суммарными, средними и предельными величинами. Функции суммарного, среднего и предельного доход и издержек. Нахождение максимума прибыли.

Задача максимизации прибыли при заданной налоговой ставке.

Моделирование налоговых поступлений в бюджет. Кривая Лаффера.

Прикладные аспекты: показатели эластичности.

Тема 7. Интегралы

Неопределенный и определенный интегралы. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов. Свойства неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Методы вычисления. Несобственные интегралы. Применение интегрального исчисления в экономике. Экономический смысл интеграла. Управление экономическими процессами. Теория оптимального управления. Постановки задач оптимального управления при различных ограничениях, накладываемых на процесс управления. Математическое описание объекта управления. Классификация задач оптимального управления.

Тема 8. Функции нескольких переменных

Определение функции нескольких переменных, график, множество уровня функции. Однородные функции. Частные и смешанные производные. Экстремумы функции нескольких переменных. Элементы теории экстремума. Задачи на условный экстремум. Окрестность точки в евклидовом пространстве. Внутренняя, граничная и предельная точки множества. Точечные множества в N – мерном пространстве. Открытые, линейно-связные, выпуклые, замкнутые и ограниченные множества. Последовательность в евклидовом пространстве, ее предел. Предел функции нескольких переменных в точке. Виды пределов. Аналоги теорем о действиях над пределами. Непрерывность функции нескольких переменных в точке. Равномерная непрерывность. Ограниченность и равномерная непрерывность. Существование наибольшего и наименьшего значения, а также промежуточного значения для непрерывной функции. Частные производные, их геометрический смысл. Полное приращение, дифференцируемость, дифференциал функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент. Свойства функции двух переменных: непрерывность дифференцируемых функций, связь дифференциала с частными производными, необходимые условия дифференцируемости функции. Дифференцирование сложной и неявной функций. Формула Тейлора для функции двух переменных. Понятие векторной функции. Классические методы оптимизации. Экстремумы функций нескольких переменных. Локальный экстремум. Необходимые условия. Достаточные условия существования экстремума функции двух переменных. Условный экстремум функции нескольких переменных. Функции нескольких переменных в задачах менеджмента и экономики. Применение функций нескольких переменных в менеджменте и экономике. Взаимосвязи переменных в экономике. Функция полезности и уравнение Слуцкого в задаче потребительского выбора, функции выпуска продукции, производственные функции; функции затрат ресурсов.