10.3. Эргодические свойства стационарной случайной функции

1.Стационарная случайная функция эргодична по отношению к математическому ожиданию, если справедливо равенство

То есть для определения математического ожидания достаточно иметь только одну длинную реализацию случайной функции. Необходимым для этого условием является равенство

2. Стационарная случайная функция эргодична по отношению к дисперсии, если справедливо равенство

3.Стационарная случайная функция эргодична по отношению к корреляционной функции, если справедливо равенство

10.4. Белый шум

Рис. 10.3.

На рис. 10.3 изображена реализация случайного процесса, порождаемого простейшим потоком событий с интенсивностью . Каждое i - ое событие в потоке в момент времени t_i генерирует очередную независимую случайную

величину Y_i . Случайные величины Y₁, Y₂,... независимы, распределены с плотностью вероятности f(y) , математическим ожиданием my и дисперсией D_y . Случайный процесс X(t) принимает очередное значение Y_i в момент t_i

X(tⁱ ) = Y(t_i )

и сохраняет его до очередного события в потоке.

Число событий, приходящихся на интервал времени , распределено по закону Пуассона

Для n = 0 и n  1 имеем

Корреляционная функция процесса X(t) такова

Перейдем к пределу при условииD_y /  =C=const .

Здесь () - дельта - функция Дирака.

Полученный процесс носит название белого шума - это предельный случай последовательности очень коротких импульсов с очень большой дисперсией и независимыми амплитудами. Спектральная плотность и дисперсия белого шума таковы (см. ниже п. 10.9)

10.5. Каноническое разложение случайной функции

Как известно неслучайная периодическая функция может быть разложена в ряд Фурье

Для случайных функций В. С. Пугачев [8] предложил представление в виде разложения

(10.1)

где V_k- случайные величины,

₀(t), _k(t)- неслучайные функции.

Случайные величины V_k называются коэффициентами разложения, а функции _k(t)- координатными.

Введем понятие об элементарной случайной функции в виде произведения случайной величины Vс нулевым математическим ожиданием и ненулевой дисперсией и неслучайной функции(t):

Характеристики элементарной случайной функции таковы:

Разложение (10.1) называется каноническим, если

1) ₀(t)= M[X(t)] - математическое ожидание случайной функции;

2) V_k - некоррелированные центрированные случайные величины с дисперсиями D_k..

Тогда

- каноническое разложение корреляционной функции;

- каноническое разложение дисперсии.

Рассмотрим случай, когда случайные величины имеют нормальное распределение

Поскольку X(t) при фиксированном t есть линейная функция V_k, одномерный закон распределения X(t) также нормален и имеет вид

По той же причине нормальным является и двумерный закон распределения с параметрами:

m_x (t), m_x (t'), D_x (t), D_x(t')

и нормированной корреляционной функцией

Нормальным является и многомерный закон распределения. Все его параметры также как и в двумерном случае однозначно определяются математическим ожиданием и корреляционной функцией. Следовательно, двумерный закон распределения является исчерпывающей характеристикой случайного процесса. Кроме того, нормально распределенная случайная функция по этой причине будет марковской.