Системно-логическое решение и анализ оптимального плана задачи линейного программирования*

Задача.

На предприятии имеется 1000 га пашни, 250 среднесписочных работников (500000 чел.-час. труда), по контрактным договорам нужно реализовать 1000 ц зерна и 10000 ц молока.

Таблица 2 – Нормативы затрат ресурсов и выхода продукции

Отрасли, виды продукции	Затраты труда на 1 га (1 гол.), чел.-час.	Выход валовой продукции с 1 га (1 гол), ден. ед.	Урожайность, продуктивность, ц
Зерно Картофель Многолетние травы на сено Молоко	8 100 5 80	100 1000 80 1500	10 100 10 80

^*данные для задачи взяты условно и упрощенно для большей ясности проведения анализа.

Найти оптимальную производственную структуру (размер и соотношение отраслей и видов деятельности на предприятии), позволяющую получить наибольший выход валовой продукции в стоимостном выражении.

Формирование экономико-математической модели задачи

а) Переменные: х₁- площадь зерновых, га;

х₂- площадь картофеля, га;

х₃- площадь многолетних трав, га;

х₄- поголовье дойного стада, гол.

б) Ограничения:

1) по использованию площади пашни, га: ;

2) по использованию трудовых ресурсов, чел.-час.

;

3) по реализации зерна, ц: ;

4) по реализации молока, ц: ;

в) Целевая функция (максимум валовой продукции, ден. ед.) :

.

1. Решение и анализ основных базисных переменных

Используем понятие экономической эффективности в данном случае как соотношение удельных отраслевых показателей стоимостных результатов с затратами явно дефицитного ресурса (в данной задаче это труд).

Таблица 3 – Эффективность производства продукции

Отрасли, виды продукции	Валовая продукция на 1 га (1 гол), ден. ед.	Затраты труда на 1 га (1 гол.), чел.-час.	Условная эффективность, ден. ед./ чел.-час.	Ранг эффективности отрасли
Зерно Картофель Многолетние травы на сено Молоко	100 1000 80 1500	8 100 5 80	12,5 10 16 18,75	3* 4 2 1*

Индексом ^* обозначены отрасли, по которым нужно выполнить договорные обязательства в полном объеме независимо от уровня их эффективности. По производству молока эти критерии (план и эффективность) совпадают, чего нельзя сказать о производстве зерна. В таком случае, логически верно выполнив план по продаже зерна в минимальном объеме, остальные ресурсы (трудовые) направить на производство молока.

Тогда целевая функция

Здесь коэффициенты означают выход валовой продукции с гектара или головы в денежном выражении.

Анализ основных базисных переменных показывает оптимальную производственную структуру или отрасли, формирующие оптимальный план задачи. В данном случае это производство зерна (100 га зерновых) и молока (6240 гол. дойного стада).

2. Анализ основных небазисных переменных показывает неэффективные отрасли, уровень и причину их неэффективности, а также условия, необходимые для вхождения в оптимальный план задачи.

Оценки чистого эффекта этих переменных показывают, на сколько ухудшится (уменьшится) экстремальное значение целевой функции от введения в оптимальный план единицы данной неэффективной отрасли. При этом речь идет не о дополнительных издержках и убытках, а об упущенной выгоде. С другой стороны, чистый эффект показывает, на сколько нужно улучшить (увеличить) отдачу с единицы отрасли, чтобы она вошла в оптимальный план наравне с ныне эффективными отраслями (производство молока).

Оценка косвенного эффекта показывает, сколько продукции нужно получать с единицы данной отрасли, чтобы она стала эффективной. Их можно считать нормативами экономической эффективности для коэффициентов целевой функции решаемой задачи.

,

где - чистый эффект (упущенная выгода);

- прямой эффект (фактическая удельная отдача);

- косвенный эффект (норматив минимальной удельной отдачи).

Тогда , однако если задача решается на максимум, то упущенная выгода отрицательна сама по себе. Отсюда .

До тех пор пока коэффициенты прямого эффекта для неэффективных отраслей находятся в диапазоне , набор базисных переменных, образующих оптимальный план задачи, не изменится.

В нашем случае небазисными являются основные переменные Х₂ (площадь картофеля) и Х₃ (площадь многолетних трав).

Проведем необходимые расчеты. Пусть в оптимальный план введен 1га картофеля. Сопоставив новые результаты с предыдущими, выйдем на упущенную выгоду и нормативы отдачи .

1 га картофеля	1000(новая или альтернативная стоимость, )
	100 чел.-час. (затраты труда): 80*чел.-час.=1,25 гол.	1,25 гол. * 1500 ден. ед./гол.=1875 ден. ед. (прежняя стоимость, )

^* очевидно, что данные ресурсы можно взять лишь из животноводства, так как по зерну все рассчитано по минимуму, а значит, никаких резервов для изъятия трудовых ресурсов там нет.

Сопоставив показатели новой и прежней стоимостей выйдем на значение

упущенной выгоды: Таким образом, от введения в оптимальный план 1 га картофеля целевая функция задачи уменьшится на 875 ден. ед. в виду менее эффективного альтернативного способа использования производственных ресурсов. В данном случае прежняя стоимость 1875 ден. ед. и будет нормативом эффективной отдачи с 1 га картофеля.

Аналогичен расчет по многолетним травам.

1 га многолетних трав	80 (новая или альтернативная стоимость, )
	5 чел.-час. (затраты труда): 80чел.-час.=0,0625 гол.	0,0625 гол. * 1500 ден. ед./гол.=93,75ден.ед. (прежняя стоимость, )

Тогда составит упущенная выгода от введения в оптимальный план 1 га многолетних трав, а 93,75 ден. ед. является нормативом эффективной отдачи с единицы данной отрасли.

3. Анализ дополнительных небазисных переменных или оценки ограничений показывают уменьшение максимального значения целевой функции задачи (упущенную выгоду) от несоблюдения объема ограничения на единицу его измерения (← ≤, ≥ →).

В целом данные переменные характеризуют степень приближенности неравенств к уравнениям, а также показывают чувствительность экстремального значения целевой функции оптимального плана задачи к единому изменению объема данного ограничения в сторону острия знака неравенства для этого ограничения. Судя по величине оценки ограничения «≤», можно определить наиболее дефицитные ресурсы, которые могут стать реальной помехой на пути осуществления оптимального плана или даже в процессе формирования и решения экономико-математической модели.

Здесь нет смысла делить оценки ограничений на чистый и косвенный эффекты. Они равны между собой по абсолютной величине, т.к. коэффициенты целевой функции дополнительных небазисных переменных имеют нулевое значение.

Тогда (задача на минимум) и (задача на максимум).

Существуют два условия для оценки любого ограничения:

1) Тип - неравенство (≤, ≥);

2) Выполнено в точности (нет отклонения объема ограничения от объема его использования).

В нашем случае этим требованиям соответствуют ограничения № 2 (по использованию трудовых ресурсов, чел.-час.) и № 3 (по реализации зерна, ц). Итак, пусть недоиспользован 1 чел.-час. труда (500000-1=499999 чел.-час.).

1 чел.-час. труда : 80 чел.-час./гол. (берем оттуда же)=0,0125гол.

0,0125гол. * 1500 ден. ед./гол.=1875 ден. ед. – оценка 2-го ограничения или упущенная выгода для целевой функции.

Здесь нет сравнения альтернативных способов использования ресурсов, но упущенная выгода отрицательна сама по себе, так как недоиспользуется дефицитный ресурс при решении задачи на максимум.

Пусть произведен и реализован дополнительный центнер зерна (1000+1=1001ц).

1 ц зерна (1/10га, т.к. урожайность зерновых 10ц/га)	100 *0,1= 10 ден.ед.
	8чел.-час. . 0,1=0,8 чел.-час.	0,8 чел.-час. :80 чел.час./гол.=0,01 гол.		0,01 * 1500 ден. ед./гол.=15 ден. ед.

Тогда упущенная выгода от реализации сверхпланового центнера зерна составит: 10-15=-5 ден. ед.

4. Анализ дополнительных базисных переменных позволяет выявить недоиспользование ресурсов и/или сверхплановый прирост производства эффективных видов производства. По сути, это заменяет процесс и результаты отдельного решения двойственной задачи линейной оптимизации о требуемых для выполнения оптимального плана ресурсах. В данном случае это касается ограничений № 1 (по площади пашни, га) и № 4 (по реализации молока, ц).

1. 1000 (было) – 100 (использовано)= 900 га пашни недоиспользовано.

2. 10000 (минимальный план)- 187200 (оптимальный план, 30 ц/гол. *^. 6240 гол.) = -177200ц (прирост производства молока).

Данный анализ удобно проводить по заключительному блоку машинной распечатки, включающей 4 возможные сочетания, логически позволяющих лучше понять состояние анализируемых отраслей.

Таблица 4 – Логическая интерпретация сочетаний отклонений и типов

ограничений

Тип ограничения	Отклонение ограничения от объема его использования	Пояснение
≤ ≤ ≥ ≥	0 + 0 -	Дефицитный ресурс (труд) Недоиспользованный ресурс (пашня) Невыгодное, но экономически необходимое или запланированное согласно договорам производство (зерно) Эффективное производство (молоко)

Здесь знаки «+» и «-» всего лишь связаны с особенностями математической обработки на ЭВМ и не имеют своего логического значения.

Задача 2. Оптимальное планирование перевозок однородного груза

Даны: матрица удельных затрат (тыс. руб.), объемы запасов поставщиков и потребностей (тонн).

.

Найти план грузоперевозок, минимизирующий общие затраты.

Решение:

а) Определяем перечень переменных в линейной форме:

х₁- объем груза, перевезенного от 1-го поставщика 1-му потребителю, т;

х₂- объем груза, перевезенного от 1-го поставщика 2-му потребителю, т;

х₃- объем груза, перевезенного от 1-го поставщика 3-му потребителю, т;

х₄- объем груза, перевезенного от 2-го поставщика 1-му потребителю, т;

х₅- объем груза, перевезенного от 2-го поставщика 2-му потребителю, т;

х₆- объем груза, перевезенного от 2-го поставщика 3-му потребителю, т;

х₇- объем груза, перевезенного от 3-го поставщика 1-му потребителю, т;

х₈- объем груза, перевезенного от 3-го поставщика 2-му потребителю, т;

х₉- объем груза, перевезенного от 3-го поставщика 3-му потребителю, т;

х₁₀- объем груза, перевезенного от 4-го поставщика 1-му потребителю, т;

х₁₁- объем груза, перевезенного от 4-го поставщика 2-му потребителю, т;

х₁₂- объем груза, перевезенного от 4-го поставщика 3-му потребителю, т.

б) Формируем систему ограничений:

1) по запасам груза 1-го поставщика, т

;

2) по запасам груза 2-го поставщика, т

;

3) по запасам груза 3-го поставщика, т.

;

4) по запасам груза 4-го поставщика, т

;

5) по потребностям в грузе 1-го потребителя, т

;

6) по потребностям в грузе 2-го потребителя, т

;

7) по потребностям в грузе 3-го потребителя, т

.

в) Целевая функция (минимум затрат, тыс. руб.):

Анализируем результаты решения (см. приложение 2).

Минимальные затраты на грузоперевозки в сумме 1305 тыс. руб. будут получены при условии, если от первого поставщика третьему потребителю будет перевезено 250 т груза (х₃), от второго поставщика второму потребителю - 150 т (х₅), от второго поставщика третьему потребителю - 300 т (х₆), от третьего поставщика первому потребителю - 350 т (х₇), от третьего поставщика второму потребителю - 200 т (х₈) и от четвертого поставщика второму потребителю – 300 т груза (х₁₁).

В наглядной форме это можно представить в таблице 5.

Таблица 5 – Оптимальное решение транспортной задачи

Поставщики	Потребители
	в1=350	в2=650	в3=550	в=50
а1=250	Х 1,1	Х 1,2	250 0,9	Х 0
а2=450	Х 1,0	150 0,9	300 0,8	Х 0
а3=600	350 0,7	200 1,1	Х 1,2	50 0
а4=300	Х 1,3	300 0,8	Х 1,0	Х 0

Основными небазисными переменными являются

Они связаны с оставшимися от исходных маршрутами грузоперевозок, которые не вошли в оптимальный план данной задачи ввиду их неэффективности с точки зрения влияния на размер целевой функции.

Оценки чистого эффекта этих переменных позволяют выявить уровень неэффективности не вошедших в оптимальное решение корреспонденций. Они показывают, на сколько увеличится значение целевой функции оптимального плана грузоперевозок (равное 1305 тыс. руб.), если провезти по данному маршруту 1 т груза. В этой задаче наиболее невыгодны корреспонденции и особенно . С другой стороны, чистый эффект показывает, на сколько нужно уменьшить удельные затраты по данным маршрутам, чтобы они вошли в оптимальный план наравне с эффективными корреспонденциями. Косвенный эффект как разность между прямым эффектом и чистым эффектом показывает норматив удельных затрат, позволяющий данным маршрутам стать выгодными.

Так, для ,

для ,

для .

Оценки дополнительных небазисных переменных, они же оценки ограничений, позволяют выявить наиболее эффективных поставщиков груза. Они показывают, на сколько тонно-километров увеличится значение целевой функции, если уменьшить запасы данного поставщика на 1 т, и наоборот, на сколько они уменьшатся, если увеличить эти запасы на 1 т при перераспределении общих базовых запасов за счет уменьшения их у менее эффективных поставщиков при неизменности общего спроса потребителей ( ). В связи с этим мы анализируем оценки ограничений лишь для поставщиков груза (ограничение с первого по четвертое). Здесь наиболее эффективны 2 и 3 поставщики (W=0,2 и 0,3).

Анализ дополнительных базисных переменных, связанных с последним блоком компьютерной распечатки, позволяет выявить неэффективные пункты складирования груза. При данных условиях это третий поставщик, что связано не только с превышением запасов над потребителями, но и с более удельно-затратными, т.е. с менее выгодными, маршрутами грузоперевозок.

В случае, если имеется несколько неэффективных поставщиков, то степень их неэффективности можно определить, сравнив отношение невывезенного груза к базовым запасам по каждому из них. По сути, это адресный показатель уровня неликвидности их запасов.

Задача 3. Оптимизация производственной структуры предприятия

На предприятии имеется 4750 га пашни, 250 среднесписочных работников (500000 чел.-час. труда), по контрактным договорам нужно реализовать 4800 ц картофеля, 32500 ц молока, 3500 ц прироста молодняка КРС, 4850 ц зерна.

Найти оптимальную производственную структуру, позволяющую получить максимальный выход валовой продукции в стоимостном выражении.

Таблица 6 – Нормативы затрат ресурсов и выхода продукции

Отрасли, продукция	Затраты труда на 1га (1 гол.), чел.-час.	Выход валовой продукции с 1 га (от 1гол.), тыс. руб.	Выход/затраты кормов (с 1 га, на 1 гол.), ц.к.ед.	Урожайность/ продуктивность, ц
Зерновые Картофель Мн. травы Дойное стадо Молодняк	12,9 193 9,5 188 127	5,625 49,5 7,5 14,75 4,94	14 27 12,6 30,9 15,7	14 112 23 29,7 1,9

Решение:

а) Переменные задачи:

х₁- площадь зерновых, га;

х₂- площадь картофеля, га;

х₃- площадь многолетних трав, га;

х₄- поголовье дойного стада, гол.;

х₅- поголовье молодняка, гол.

б) Система ограничений:

1) по площади пашни, га

;

2) по трудовым ресурсам, чел.-час.

;

3) по реализации картофеля, ц

;

4) по реализации молока, ц

;

5) по реализации прироста, ц

;

6) по реализации зерна, ц

;

7) баланс кормов, ц. к. ед.

.

в) Целевая функция:

.

Согласно оптимальному решению, максимальный выход валовой продукции в денежном выражении, равный 60386,005 тыс. руб., обеспечит следующая структура производства (Приложение 3):

х₁- 1492 га зерновых,

х₂- 55 га картофеля,

х₃- 3202 га многолетних трав,

х₄- 1094 голов дойного стада,

х₅- 1842 головы молодняка КРС.

Оценки основных небазисных здесь отсутствуют, так как все пять исходных отраслей вошли в оптимальный план задачи. Судя по оценкам ограничений, дефицитными ресурсами являются пашня и трудовые ресурсы. При недоиспользовании площади пашни на 1 га целевая функция уменьшится на 33,081 тыс. руб., а при недоиспользовании труда на 1 чел.-час. ее значение снизится по сравнению с оптимальным на 412,62 руб. Следует добавить, что

при решении больших моделей, адекватных реальным условиям сельскохозяйственного производства, площадь пашни действительно должна быть полностью востребованной, чего явно некорректно ожидать от уровня

использования труда; иначе вводятся условия по его привлечению как в целом, так и в пиковые по потребности периоды сельскохозяйственных работ.

При реализации дополнительно 1 ц молока целевая функция уменьшится на 4552,19 руб., а при продаже сверхпланового центнера прироста – на 44,327 тыс. руб. за счет менее эффективного альтернативного способа использования производственных ресурсов (пашня и труд). Таким образом, производство экономически невыгодной продукции без государственного дотирования по влиянию на валовую выручку равнозначно значительному недоиспользованию дефицитных ресурсов. Аналогично этому, превышение выхода кормов над реальной потребностью в них без должного учета и контроля за их использованием и/или неподкрепленное приростом удельного выхода продукции животноводства в натуральном и денежном выражении (низкопородный скот) также ощутимо снижает результаты деятельности сельскохозяйственного предприятия. Согласно анализу дополнительных базисных переменных, экономически выгодными являются производство зерна и картофеля, а не выгодной, но запланированной, возможно, в пределах дотаций или договоров продукцией - производство молока и прироста.

Задача 4. Оптимизация инвестиционного портфеля

Имеются 4 проекта, конкурирующих за инвестиционные фонды компании. В таблице приведены показатели выгодности вложений.

Таблица 7 – Динамика вложений и отдачи по проектам

Год	Эффективность проекта на 1 рубль вложений
	А	В	С	Д
1 2 3 4	0 -1,00 +0,25 +1,00	-1,00 0 +0,37 +1,10	-1,00 +1,22 0 0	0 0 -1,00 +1,43

Минимальная сумма вложений в проект В - 650 тыс. дол. Деньги, полученные в результате инвестиций, можно реинвестировать в другие проекты, а также разместить в банке под 6,5 % годовых. Всего имеется 1240 тыс. дол. для инвестиций. Требуется максимизировать сумму денег, накопленных к конечному периоду.

Решение:

а) Определяем переменные задачи:

х₁- вложение средств в проект А в начале 2 года, тыс. дол.;

х₂- вложение средств в проект В в начале 1 года, тыс. дол.;

х₃- вложение средств в проект С в начале 1 года, тыс. дол.;

х₄- вложение средств в проект Д в начале 3 года, тыс. дол.;

х₅- вложение средств под краткосрочные 6,5% в банк в начале 1 года, тыс. дол.;

х₆- вложение средств под краткосрочные 6,5% в банк в начале 2 года, тыс. дол.;

х₇- вложение средств под краткосрочные 6,5% в банк в начале 3 года, тыс. дол.

Для удобства и простоты записи обозначим переменные в виде названий проектов, включая год вложения ( ).

б) Формируем систему ограничений.

1) по вложению средств в проект В в начале первого года, тыс. дол.:

;

2) по общему вложению средств в первом году, тыс. дол.:

;

3) баланс на второй год, тыс. дол.:

4) баланс на третий год, тыс. дол.

в) Целевая функция задачи:

.

Анализируем результаты решения, представленные в Приложении 4.

тыс. дол.;

тыс. дол.;

тыс. дол.;

тыс. дол.

Максимальное значение целевой функции, равное 2155,134 тыс. дол., будет получено при следующем вложении средств. Для этого в начале первого года нужно вложить 650 тыс. дол. в проект В и 590 тыс. дол. в проект С. Тогда через год отдача по проекту С составит 719,8 тыс. дол. (590 · 1,22); так как проект С на этом закрывается, то, согласно оптимальному решению, данная сумма будет размещена в банке сроком на 1 год под 6,5%, а затем средства в объеме 766,6 тыс. дол. (719,8 · 1,065) вкладываются в проект Д под 43% годовых. Из суммы вложений в проект В (650 тыс. дол.) через 2 года можно будет изъять 37%, или 240,5 тыс. дол. (650 · 0,37). Эти средства могли бы наращиваться по потоку В₁, но он обеспечивает в дальнейшем лишь 10% годовых, поэтому, согласно критерию оптимальности задачи, происходит реинвестирование денег в проект Д в начале третьего года под 43% наращивания. Таким образом, общая сумма вложений в проект Д₃ составит 1007,1 тыс. дол. (766,6+240,5), которые к концу третьего года увеличатся до 1440,1 тыс. дол. (1007,1 · 1,43). Начальная сумма в проект В к завершению инвестиционного периода задачи увеличится на 10% и составит 715 тыс. дол. (650 · 1,1). Таким образом, общая сумма накопленных средств, то есть целевая функция задачи, составит 2155,1 тыс. дол. (715+1440,1).

Более наглядно оптимальное решение задачи можно изобразить так.

Таблица 8 – Оптимальное решение задачи динамического планирования

инвестиций

Годы	Проекты
	А	В	С	Д	S1	S2	S3
1	0	6 50 -1,00	5 90 -1,00	0	-1,00	0	0
2	-1,00	0	719,8 +1,22	0	+1,065	719,8 -1,00	0
3	+0,25	2 40,5 +0,37	0	1 107,1 -1,00	0	719,8 +1,065	-1,00
4	+1,00	715 +1,10	0	1440,1 +1,43	0	0	+1,065

Итог: 715+1440,1=2155,1 тыс. дол.

Проанализируем оценки основных небазисных переменных.

; ;

; ;

; .

Следует отметить, что все эти значения, как и оценки прямого эффекта (или коэффициенты целевой функции данной задачи), представлены здесь на конец третьего года. Таким образом, если мы вложим 1 тыс. дол. в проект А в начале второго года или в банк в начале первого или третьего годов, то, соответственно, потеряем по сравнению с оптимальным решением (2155,1 тыс. дол.) 165 дол., 236 дол. или 365 дол. Именно на эти значения нужно увеличить отдачу за последний год, чтобы данные инвестиции вошли в оптимальный план задачи наравне с вложениями в проекты, формирующими оптимальный план данной задачи.

Согласно этому, оценки косвенного эффекта показывают нормативный уровень доходности за последний год, необходимый для выполнения вышеуказанного условия.

До тех пор пока фактическая отдача по неэффективным проектам хотя бы не достигнет эффективной границы , набор и значение базисных переменных задачи не изменится.

Проанализируем оценки ограничений задачи. Если мы вложим в проект В в начале первого года дополнительную 1 тыс. дол., то значение целевой функции задачи уменьшится на 229 дол., и наоборот, при недовложении 1 тыс. дол. ее значение увеличится на ту же сумму. Для лучшего понимания смысла этой величины целесообразно вернуться к рассмотренному в оптимальном решении движению финансовых потоков задачи, иначе, согласно лишь конечным показателям, доходность потока В₁ составит всего 1,1 (715:650), а доходность С₁- целых 2,44 (1440,1:590). Однако средства в размере 240,5 тыс. дол. были перевложены с потока В на поток С в начале третьего года под последующие 43% годовых. Образно говоря, это так называемые «чужие деньги», (240,5 · 1,43=343,9 тыс. дол.) на величину которых и нужно скорректировать формально-видимую доходность данных потоков.

Итак, реальная доходность потока В₁ составит

(рентабельность 62,9%).

Тогда для потока С₁:

(рентабельность 85,8%).

Если мы вложим в проект В дополнительную 1 тыс. дол., то при соблюдении в оптимальном решении ограничения по общим вложениям такая же сумма будут недовложена в более эффективный поток С. Тогда оценка первого ограничения задачи будет равна разнице в доходности (или рентабельности) данных потоков.

или . Однако лучше и нагляднее отслеживать движение анализируемых потоков от начала первого года.

;

;

.

Аналогично оценка второго ограничения задачи, связанного с общими инвестициями в первом году, показывает, что конечная сумма средств (2155,1 тыс. дол.) уменьшится на 1858 дол., если в начале периода инвестирования будет вложено на 1 тыс. дол. меньше. Фактически это доходность более эффективного потока С₁, так как из средств, вложенных в поток В₁, изымать ничего нельзя (тип ограничения «≥», а его объем выдержан по нижней границе планового использования). Дополнительные базисные переменные, связанные с недоиспользованием или приростом вложения средств, здесь отсутствуют в основном благодаря сочетанию между собой типов ограничений и целевой функции задачи.

Более удобным является способ анализа решения, в котором суммы вложений упускаются, а используются лишь коэффициенты доходности на концах вертикальных стрелок, определяющие результативность данной отдельной «ветви» потока. В целом доходность потока равна сумме доходности всех его ветвей; при этом расчеты по большим потокам желательно проводить «снизу», т.е. определившись с результативностью «узловых точек», которых нет в данной задаче из-за незначительной ее размерности.

В случае анализа результатов решения, представленных в таблице 2,

следует иметь в виду, что оценки чистого эффекта этих переменных связаны с отвлечением 1 тыс. руб. в данный невыгодный поток на определенный

условиями задачи промежуток времени с дальнейшим наиболее выгодным

вариантом вложения данной суммы согласно схеме оптимального решения.

Эти расчеты обычно намного проще предыдущих действий, связанных с таблицей 3, так как здесь имеется реальная возможность пользоваться данными предыдущих вычислений.

При изрядной формализованности условий данной задачи она вполне способствует формированию базовых навыков сбалансирования притоков и оттоков денежных средств, а также отслеживанию и разделению финансовых потоков по имеющимся фактическим данным их движения.

Задача 5. Оптимизация кредитного портфеля

Общая сумма кредитов банковского филиала 2760 тыс. руб. Кредиты выдаются юридическим лицам, предпринимателям, другим банкам (межбанковское кредитование) и работникам данного банка.

Таблица 9 – Субъекты и параметры кредитования

Субъекты кредитования	Нижняя долевая граница, %	Верхняя долевая граница, %	Кредитная ставка, %
Юридические лица Предприниматели Другие банки Работники банка	45 20 10 2	60 30 15 5	18 20 12 10,5

Найти оптимальную структуру кредитования, обеспечивающую максимальную прибыль от размещения кредитов.

а) Переменные задачи:

х₁- кредиты юридическим лицам, тыс. руб.;

х₂- кредиты предпринимателям, тыс. руб.;

х₃- межбанковские кредиты, тыс. руб.;

х₄- кредиты работникам банка, тыс. руб.

б) Система ограничений:

1) по общей сумме кредитов, тыс. руб.

;

2) по минимальной доле юридических лиц, тыс. руб.

3) по максимальной доле юридических лиц, тыс. руб.

4) по минимальной доле предпринимателей, тыс. руб.

5) по максимальной доле предпринимателей, тыс. руб.

6) по минимальной доле межбанковского кредита, тыс. руб.

7) по максимальной доле межбанковского кредита, тыс. руб.

8) по минимальной доле работников банка, тыс. руб.

9) по максимальной доле работников банка, тыс. руб.

в) Целевая функция:

.

Оптимальное решение экономико-математической модели имеет следующий вид (Приложение 5):

х₁(кредиты юридическим лицам) =1600,8 тыс. руб., или 58%;

х₂(кредиты предпринимателям) = 828 тыс. руб., или 30%;

х₃(межбанковские кредиты) = 276 тыс. руб., или 10%;

х₄(кредиты работникам банка) = 55,2 тыс. руб., или 2%.

Тогда значение целевой функции задачи составит

Разумеется, алгоритмом максимизации прибыли банка от размещения кредитов выбраны наиболее доходные вложения денежных средств. Возможно, в реальности стоит несколько увеличить долю работников банка за счет межбанковских кредитов или особенно кредитов юридическим лицам. Тем не менее, данное решение вполне имеет практическую значимость с точки зрения сочетания доходности и надежности кредитных вложений. При этом даже существенное изменение общей годовой суммы кредитов в принципе не повлияет на результат решенной задачи, т.к. в данном случае главное значение имеет найденная оптимальная структура кредитования.

Основные небазисные переменные здесь отсутствуют, так как все виды выдаваемых кредитов обоснованно вошли в оптимальный план задачи, ибо по каждому из них существовала нижняя долевая граница.

Имеется 4 оценки ограничений (ограничения задачи № 1,5,6,8). Так, если недовложить в кредиты в целом 1 тыс. руб., то значение целевой функции уменьшится на 179 руб. По сути, это и будет средневзвешенная кредитная ставка: . Если недовложить 1 тыс. руб. в кредиты предпринимателям, то целевая функция снизится на 20 руб., поскольку размер общей суммы кредитов выдерживается, и эта 1 тыс. руб. будет размещена среди юридических лиц – клиентов банка - под 18% годовых. Тогда . Если превысить максимальную долевую границу межбанковских кредитов на 1 тыс. руб., то размер целевой функции снизится на 60 руб., так как эта сумма автоматически изымается у юридических лиц с большей доходностью вложений: . Если превысить минимальную границу кредитов работникам банка, то эта сумма изымается у юридических лиц, поскольку следующая по уровню доходности доля межбанковского кредита выдержана по минимуму и оттуда (во всяком случае, теоретически) брать средства куда-либо нельзя. Тогда - уменьшение значения целевой функции на 7,5 руб. от каждой тысячи превышения объема 8-го ограничения. Дефицитными ресурсами здесь можно условно назвать кредиты предпринимателям и кредитные средства в целом. Кстати, здесь легко заметить, что данный анализ является упрощенным аналогом рассмотренных в предыдущей задаче финансовых потоков в том смысле, что их доходности являются достаточно наглядными и не требуют специальных расчетов; именно поэтому в учебном процессе решение этой задачи предшествует четвертому заданию.

Анализ дополнительных базисных переменных в данной задаче не обязателен, так как ограничения выполнены в структурной форме с использованием коэффициентов пропорциональности и приведены к нулевым объемам. К тому же анализ оптимального плана вложений и оценок ограничений полностью заменяют данный раздел решенной задачи.

Задача 6. Балансовая модель производства и распределения продукции

Даны коэффициенты прямых затрат и конечный продукт для трехотраслевой экономической системы.

; .

Найти: 1) коэффициенты полных затрат ;

2) объем валового выпуска ;

3) межотраслевые поставки продукции ;

4) заполнить схему межотраслевого баланса.

Решение этой задачи обосновано включает технологию расчетов искомых показателей, так как подобные расчеты выполняются в Microsoft Excel. В рабочее поле электронной таблицы заносим название и элементы матриц А и У, не забывая, что цифры по умолчанию прижимаются к правому краю ячейки. Далее находим элементы матрицы (Е-А) либо вычитанием включенных в нее матриц, либо заполнением ячеек по следующему простому правилу. По главной диагонали матрицы (Е-А) располагаются положительные числа, полученные в результате вычета из единиц, остальные же переписываются с отрицательным знаком, поскольку они вычитаются из нулей.

Находим элементы матрицы полных затрат , где .

Для этого курсором выделяем диапазон под новую матрицу размером 3х3, затем левой клавишей мыши входим в пиктограмму f(x)-«Мастер функций», расположенную на панели инструментов «Стандартная». В правой части заставки выбираем математическую функцию МОБР (матрица обратная). Пунктиром курсора обводим элементы пересчитываемой матрицы (Е-А) и нажимаем клавиши (Ctrl+Shift)+Enter.

Находим элементы матрицы валового выпуска , где , так

как . Курсором выделяем диапазон под новую матрицу размером 3х1, поскольку размер матрицы-произведения ограничен размером меньшей из перемножаемых матриц. Входим в «Мастер функций» и выбираем функцию МУМНОЖ (матрицы умножить). Обводим курсором элементы матриц сначала , затем , занося, таким образом, адреса каждой в строку своего массива. Далее так же нажимаем (Ctrl+Shift)+Enter.

Межотраслевые поставки продукции находим умножением столбцов матрицы коэффициентов прямых затрат на соответствующие строки-элементы матрицы валового выпуска .

, так как . Расчеты новой матрицы производятся по столбцам 3х1 с использованием вышеуказанной функции МУМНОЖ.

Схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции заполняется по следующей форме.

Таблица 10 – Базовая схема межотраслевого баланса

Отрасли-производители	Отрасли-потребители			Конечная продукция	Валовая продукция
	I	II	III
I					*
II					**
III					***
Условно чистая продукция					х
Валовая продукция	*	**	***	х

Значения валового потребления равны соответствующим элементам матрицы , в связи с тем что данная система является замкнуто-сбалансированной, а объемы условно-чистой продукции для отраслей-потребителей находятся как разница между их валовым потреблением и величиной межотраслевых поставок по столбцам баланса. При анализе результатов решения задачи необходимо иметь хотя бы общее представление о квадрантах межотраслевого баланса (МОБ).

Первый квадрат МОБ - это шахматная таблица межотраслевых материальных связей. Величина - межотраслевые потоки продукции, означающие количество продукции, произведенной в -той производящей отрасли и потребляемой в -той потребляющей отрасли. По строкам I квадрата проводится анализ межотраслевых потоков, характеризующих распределение отдельного продукта по отраслям-потребителям. По столбцам раздела потоки характеризуют уровень затрат на развитие отрасли. Соотношение прямых и полных затрат продукции на развитие данной отрасли показывает уровень прямых и косвенных технологических связей между отраслями. В данном случае 1 отрасль-потребитель наиболее зависима от 1 и 3 производящих отраслей, 2 потребляющая отрасль – от 2 производящей отрасли, 3 потребляющая отрасль – от 1 производящей отрасли (Приложение 6).

Во втором квадранте представлена конечная продукция отраслей материального производства , вышедшая из сферы производства в область конечного использования на потребление и накопление. Данный квадрант характеризует размер и способы конечного потребления, его структуру и основные каналы реализации. Структура конечного потребления определяет тип предприятия и его специализацию. Здесь наибольшим значением конечной продукции и ее удельным весом в объеме производства (товарностью) обладает третья производящая отрасль.

В третьем квадранте МОБ представлены затраты на производство и чистая продукция или затраты на производство и оплату труда плюс чистый доход. Для их расчета определяются нормативы расхода ресурсов на единицу производства продукции и общая сумма затрат на весь объем выпуска. Отдельной строкой выделяют расход средств, привлекаемых со стороны, характеризующих зависимость предприятия от других отраслей. По данным III квадранта можно выявить резервы снижения себестоимости производства продукции. В нашем примере большее значение в плане добавленной стоимости и ее удельного веса в общем объеме потребления имеют первая и третья потребляющие отрасли.

Четвертый квадрант отражает конечное распределение и использование вновь созданной стоимости, то есть итоговые показатели деятельности предприятий. На основе этих данных анализируются основные каналы использования валового (чистого) дохода или прибыли по отраслям производства. Это позволяет выявить наиболее эффективные отрасли предприятия и обосновать мероприятия по их развитию. В задаче общий объем конечной продукции равен суммарной условно-чистой продукции, что объясняется балансом валового производства и валового потребления в данной системе:

.

Коэффициенты прямых затрат -это количество продукции -той (производящей) отрасли для производства единицы продукции в -той (потребляющей) отрасли. Коэффициент прямых материальных затрат учитывает лишь непосредственные затраты -той продукции, прямо относящиеся на производство единицы -той продукции. Тогда . Кроме того, нормативы прямых затрат ресурсов по конкретным видам продукции и видам деятельности в натуральном выражении являются информационной основой балансовых моделей.

Для любой производящей отрасли можно записать: .

Здесь коэффициенты полных материальных затрат , включающие прямые и косвенные затраты, показывают, сколько продукции -того вида нужно производить, чтобы обеспечить единицу объема конечной продукции -того вида. Динамика значений в целом подтверждает рассмотренные выше основные зависимости между отраслями-потребителями и отраслями- производителями. С их помощью можно определить, насколько нужно увеличить объемы производства, чтобы увеличить объем реализации на определенную величину.

Обратная (условная) задача отличается тем, что даются коэффициенты полных затрат и объем валового выпуска . При ее решении используются те же формулы, в частности . Возводя обе части матрицы в степень «-1», получаем . Вектор конечного потребления находим так: .

Кроме того, конечный продукт может быть установлен как разница между объемом валового выпуска и суммой рассчитанных значений внутриотраслевых поставок по каждой отрасли-производителю:

.

Дальнейшие расчеты и анализ результатов решения аналогичны предыдущей задаче.