Федеральное агентство по образованию

Вологодский государственный технический университет

Кафедра физики

Электростатика и постоянный ток

Методические указания и задания для студентов – бакалавров

по направлению 151900 «Конструкторско–технологическое

обеспечение машиностроительного производства»

Контрольная работа №3

Вологда 2012

ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ПОСТОЯННЫЙ ТОК

Основные формулы

ЗАКОН КУЛОНА. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

• Закон Кулона

где F— сила взаимодействия двух точечных зарядов Q₁ и Q₂; r — расстояние между зарядами; Ɛ— диэлектрическая проницаемость среды; Ɛ₀ — электриче­ская постоянная:

Закон сохранения заряда

где — алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему; п — число зарядов.

• Напряженность электрического поля

E = F/Q,

где F — сила, действующая на точечный положительный заряд Q, помещен­ный в данную точку поля.

• Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный в электрическое

поле

F = QE.

• Поток вектора напряженности Е электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

где α — угол между вектором напряженности Е и нормалью п к элементу по­верхности; dS — площадь элемента поверхности; Еn — проекция вектора на­пряженности на нормаль;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое

поле

• Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность

где интегрирование ведется по всей поверхности.

• Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора напряженности Ё через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Q_1,Q₂,…,Qn

где — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутом поверхности; п — число зарядов.

• Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда

Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сфе­рой радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<R) Е= 0;

б) на поверхности сферы (r=R)

в) вне сферы (r>R)

• Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно ко­торому напряженность E результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженно­стей складываемых полей:

В случае двух электрических полей с напряженностями E1 и E₂ модуль век­тора напряженности

где α — угол между векторами E₁ и E₂.

• Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси

где τ— линейная плотность заряда.

Линейная плотность заряда, распределенного по нити (цилиндру), есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу ее длины:

• Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряжен­ной плоскостью,

где σ— поверхностная плотность заряда.

Поверхностная плотность заряда, распределенного по поверхности, есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу этой поверхности:

• Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечны­ми равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью σ заряда (поле плоского конденсатора)

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

Электрическое смещение D связано с напряженностью Е электриче­ского поля соотношением

Это соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков.

• Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положитель­ного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегралом по замкнутому контуру , где Еἰ - проекция вектора напряженности Е в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке.

В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равна нулю:

Потенциал. Энергия системы электрических зарядов. Работа по перемещению заряда в поле

• Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению по­тенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную в дан­ную точку поля, к этому заряду

или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:

Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным

нулю.

Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа А внешних сил равна по модулю работе А_см сил поля и противоположна ей по знаку:

• Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом на расстоянии r от заряда,

Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущий заряд Q сферой радиусом R, на расстоянии r от центра сферы:

внутри сферы (r<R)

на поверхности сферы (r=R)

вне сферы (r>R)

Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах Ɛ есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

• Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов φ_1,φ₂,…,φ_п2, создаваемых отдельными точечными зарядами Q_1, Q₂,..., Qn:

• Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Q₁, Q₂, ...,Q_n определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой:

где φ_ἰ — потенциал поля, создаваемого всеми п-1 зарядами (за исключением i-го) в точке, где расположен заряд Q_ἰ.

• Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, ни связь выражается формулой

или в скалярной форме

а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой его точке одинакова как по модулю, так и по направлению

где φ₁ и φ₂ — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d- расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.

• Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал φ₁ в другую, имеющую потенциал φ₂

где E_l — проекция вектора напряженности Е на направление перемещения; dl — перемещение.

В случае однородного поля последняя формула принимает вид

A=QElcosα,

где i — перемещение; α — угол между направлениями вектора Е и переме­щения i.

• Диполь есть система двух точечных электрических зарядов равных по размеру и противоположных по знаку, расстояние i между которыми значи­тельно меньше расстояния r от центра диполя до точек наблюдения.

Вектор L, проведенный от отрицательного заряда диполя к его положи­тельному заряду, называется плечом диполя.

Произведение заряда |Q| диполя на его плечо i называется электриче­ским моментом диполя:

• Напряженность поля диполя

где р - электрический момент диполя; r - модуль радиуса-вектора, проведенно­го от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует; α-угол между радиусом-вектором r и плечом i диполя.

• Потенциал поля диполя

• Механический момент, действующий на диполь с электрическим ми ментом р, помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью Е

где α - угол между направлениями векторов р и Е.

В неоднородном электрическом поле кроме механического момента (пары сил) на диполь действует еще некоторая сила. В случае поля, обладающем симметрией относительно оси x, сила выражается соотношением

где — частная производная напряженности поля, характеризующая степени неоднородности поля в направлении оси х.

При α >π/2 сила F_x положительна. Это значит, что под действием ее диполь втягивается в область сильного поля.

• Потенциальная энергия диполя в электрическом поле