5. Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Дифференциальное уравнение n –го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и ее производных , т.е. имеет вид:

р_o(x)y⁽ⁿ⁾ + р₁(x)y⁽ⁿ^-
1) +... + р_n_-
1(x)y´ + р_n(x)y = f(x), (2)

где р_o(x), р₁(x),..., р_n(x), f(x) – заданные функции от х.

Если f(x) ≠ 0, то уравнение (2) называется линейным однородным, в противном случае – неоднородным (с правой частью).

Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения:

р_o(x) y⁽ⁿ⁾ + р₁(x) y⁽ⁿ^–
1) +... + р_n_–
1(x) y´ + р_n(x) y = 0. (3)

Если коэффициенты р_o(x), р₁(x),..., р_n(x) – постоянные, то уравнение (2) принимает вид:

р_oy⁽ⁿ⁾ + р₁y^{(n– 1)} +... + р_n_{– 1}y´ + р_ny = f(x) (4)

и называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Соответствующее уравнению (4) линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:

р_oy⁽ⁿ⁾ + р₁y^{(n – 1)} +... + р_{n – 1}y´ + р_ny = 0. (5)

Без ограничения общности можно положить р_o = 1 и записать уравнение (5) в виде

y⁽ⁿ⁾ + р₁y^{(n– 1)} +... + р_n_{– 1}y´ + р_ny = 0 (6)

Теорема. Если функции являются линейно независимыми частными решениями уравнения (6), то его общее решение есть линейная комбинация этих решений, т.е.:

, (7)

где – произвольные постоянные.

Частные решения уравнения (6) будем искать в виде

, где k = const, (8)

тогда

, ,.

Подставляя полученные выражения в (6), будем иметь:

e ^kx(kⁿ + р₁k^n–1 +... + р_n–1k + р_n) = 0.

Т.к. e ^kx≠ 0, то

kⁿ + р₁k^n–1 +... + р_n–1k + р_n = 0. (9)

Равенство (9) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (6). Характеристическое уравнение есть алгебраическое уравнение n-й степени, следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и комплексные.

Если k₁, k₂,..., k_n – действительные и различные корни уравнения (9), то – частные линейно независимые решения уравнения (6), а его общее решение имеет вид

6.Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.Метод вариации произвольной постоянной.

Ур-ие вида у`+p(x)y=f(x), где p(x) и f(x)- непрерывные функции, называется линейным ду 1-го порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у` взодят в уравнение линейно, те в первой степени. если f(x)=0, то ур-ие называется линейным однородным уравнением. если f(x)0, то уравнение называется неоднородным уравнением. Найдем общее решение у`+p(x)y=f(x). Сначала решается соответствующее однородное Ур-ие у`+p(x)y=0. затем делится Ур-ие с у в правую часть с х в левую и интегрируется.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.