1.Дифференциальные уравнения: Порядок ду, общее и частное решение, Задача Коши и её геометрический смысл.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные .символическая запись ДУ:

.

Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Общим решением ДУ n-го порядка называется функция: ,зависящая от n произвольных постоянных и удовлетворяющая ДУ при любых значениях .

Частным решением ДУ называется любая функция, полученная из общего решения ДУ при конкретных числовых значениях произвольных постоянных:

.

Задача отыскания частного решения уравнения, удовлетворяющая заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

ДУ первого порядка.

Геометрический смысл теоремы Коши. Существует, и притом единственная функция , график которой проходит через заданную точку (х₀, у₀) (единственная интегральная кривая, проходящая через заданную точку).

2.Дифференциальное уравнение первого порядка: определение, типы, общее и частное решения.

ДУ первого порядка – уравнение вида: ,Где х – независимая переменная;

у – искомая функция;

у – ее производная.

Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно у, имеет вид: Другие формы записи ДУ первого порядка:

; .

Если в уравнении функция, стоящая в правой части уравнения, зависит только от независимой переменной х, то мы получим простейшее ДУ:

. (17)

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка 1-го порядка:1) 2) ,3) 4) .

Общее решение ДУ первого порядка – функция, зависящая от одной произвольной постоянной: ,и удовлетворяющая ДУ при любом конкретном значении С.

Равенство вида ,неявно задающее общее решение ДУ, называется общим интегралом ДУ.

Частное решение ДУ первого порядка – любая функция, которая получается из общего решения, если произвольной постоянной С придать конкретное числовое значение С₀: .

Соотношение вида , называется частным интегралом ДУ первого порядка.

3.Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и его решение.

Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

(,где правая часть уравнения есть произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у.

Схема интегрирования такого уравнения:

1Представим производную искомой функции в виде :

2)Умножим обе части уравнения на :

3)Разделим переменные, поделив обе части уравнения на :

.

4)Это Равенство можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по х, получим:

.

Это Соотношение связывает искомую функцию y, независимую переменную x и произвольную постоянную С, т.е. является общим интегралом уравнения

4. Дифференциальное уравнение второго порядка, его общее и частное решения. Простейшее ду второго порядка и его решение.

Ур-ие вида F (x,y,y`,y”где х-независимая переменная, у-искомая ф-ия, у` y`` ее производные, называется ду 2-го порядка. Обычно изучают уравнения которые могут быть записаны в виде разрешенном относительно второй производной у``=f(x,y,y`) решением такого ур-ия называется ф-ия у=(х), х(а;b), которая при подстановке в ур-ие обращает его в верное равенство. График решения называется – интегральной кривой. условия : <sub>,</sub> у=у<sub>0,</sub> у`=у” при х=х₀называют начальными условиями. Ф-ия у=(х,С₁,С₂) называется общим решением уравнения у``=f(x,y,y`) в некоторой области G, если она является решением уравнения при любых значениях С₁,С₂ и если при любых начальных условиях существуют единственные значения постоянных С₁=С⁰₁ , С₂=С⁰₂ такие, что ф-ия у=(х,С⁰₁,С⁰₂) удовлетворяет даням начальным условиям. Любая функция у=(х,С⁰₁,С⁰₂), получающаяся из общего решения у=(х,С₁,С₂) уравнения (1) при определенных значениях постоянных С₁=С⁰₁ , С₂=С⁰₂ называется частным решением.