17. Знакочередующиеся числовые ряды
Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.
Признак Лейбница: Если абсолютные величины членов знакочеред ряда (A1-A2+A3-A4+…+(-1)n+1*An+…) монотонно убывают: A1>A2>A3… и общий член ряда стремится к нулю: lim An=0, то ряд сходится.
Пример: 1-1√2+1√3-1√4+…условно сход ряд, так как сам он сходится по признаку Лейбница. А ряд, составленный из абсолютных величин 1+1√2+1√3+1√4+…, расходится.
Пример:
-
знакочередующийся ряд. Убедимся, что
модуль общего члена монотонно убывает:
>1
для всех п.
Далее,
.
Таким образом, по признаку Лейбница
данный ряд сходится. Продолжим
исследование модуля общего члена
данного ряда. Сравним его с общим членом
гармонического ряда. Имеем
.
Следовательно, данный ряд, как и
гармонический, расходится. Окончательно
можно утверждать, что данный ряд сходится
условно.