47. Имеет ли функция локальный экстремум в точке ?

равен 0. Тогда точка (0;0) не является точкой экстремума ф-ции.

47. Сформулируйте достаточные условия локального экстремума функции в некоторой точке.

а)Частные производные 1го порядка равны 0

б) Достаточный признак экстремума. Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀). Тогда

f”_xx f”_xy

∆ = f”_yx f”_yy = f”_xx f”_yy - (f”_yx)²

Если ∆ > 0 в точке М₀, то в этой точке функция имеет экстремум: максимум при f”_xx < 0 (или f”_yy <0) и минимум при f”_xx > 0 (или f”_yy > 0). Если ∆<0, то в точке М₀ экстремума нет.

10.Наибольшее и наименьшее значение функции

47. Каков алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области?

1)Находим частные производные первого порядка функции (f’_x и f’_y)

2) Решая систему f’_x = 0 и f’_y = 0 находим стационарные точки и определяем, лежат ли они внутри заданной области.

3)Находим стационарные точки, лежащие на границе области и в угловых точках.

4)Среди них находим максимальное и минимальное значение, поочередно подставив в функцию.

58. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в круге .

1. М(0;0) – критическая точка. F(M) = 0. Однако она не является точкой экстремума, т. к. в окрестности точки М найдутся такие точки, в которых функция f<0 и f>0. Ищем точки экстремума на границах.

2. х² + у² = 9; у² = 9 - х²; f = 2x² – 2(9 - x²) = 4x² – 18, причем х [-3;3].

3. f = 4x² – 18 – парабола, ветви вверх.

z_min = -18 при х = 0

z_max = 18 при х = ±3

Интегральное исчисление

12.Первообразная и неопределенный интеграл

62. Дайте определение первообразной. Докажите, что если и – первообразные функции на интервале , то на этом интервале , где – некоторая постоянная.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если для любого значения х из этого промежутка выполняется равенство: F’(x) = f(x).

Теорема. Если F1(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке Х, то все первообразные для f(x) на том же промежутке имеют вид F1(x)+C, где С – произвольная постоянная.

Доказательство: Пусть F1(x) – первообразная для функции f(x), тогда выполняется равенство F1’(x) = f(x). Для любой постоянной С

Это означает, что F1(x)+C – первообразная для f(x).

Обратно, пусть F2(х) – любая другая первообразная для f(x) на промежутке Х, т.е. F2’(x) = f(x). Тогда для любого х Х

Т.к. производная функции равна нулю, то сама функция постоянна. Таким образом, F2(х) – F1(x) = С, где С - некоторая константа. Ч.т.д.

62. Дайте определение неопределенного интеграла. При каких условиях справедливо равенство ?

Определение: Если F(x) – первообразная для f(x), то выражение F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом функции f(x).

Равенство справедливо в любом случае.

Доказательство: Дифференцируя левую часть равенства, получим:

, а производная правой части

, так что производные равны, что и требовалось проверить.