Сформулируйте свойства неопределенного интеграла. Докажите, что .
Свойства неопределенного интеграла.
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
Доказательство:
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.
Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, точнее, если k ≠ 0, то
Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.
Известно, что первообразная функции , первообразная функции и . Какова связь между функциями и ? Дайте обоснованный ответ.
Вычитая из первого уравнения второе получим:
Можно сделать вывод о том, что функции G(x) и F(x) будут отличаться друг от друга на величину произвольной константы, либо будут равны, если равны эти константы.
Пусть , , . Найдите .
Мы
используем св-ва, которые были в 64
вопросе (см. выше). Сначала находим неопр
интеграл для g(x), потом через него для
f(x),
а потом уже для h(x).
В конце по идее должна получиться такая
белиберда:
.
Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Теорема: Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям
Доказательство: Согласно формуле для дифференциала произведения функций uv: d(uv) = udv + vdu. Интегрируя обе части равенства, получим слева uv по свойству 2 неопределенного интеграла, а справа - сумму интегралов, так что
13.Определенный интеграл
Дайте определение функции , интегрируемой на отрезке . Докажите, исходя из определения, что постоянная функция интегрируема на любом отрезке.
Определение: Функция , ограниченная на отрезке [а,b], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу (хз, что это такое, но это не важно здесь) для всевозможных разбиений отрезка [а,b]. Если функция интегрируема на отрезке [а,b], то единственное число, разделяющее эти два множества, называется определенным интегралом функции на данном отрезке и обозначается следующим образом:
Пусть , и . Найдите
Докажите, что если функция непрерывна на отрезке , то функция , , является ее первообразной на этом отрезке.
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то функция
F(x)
=
дифференцируема в любой внутренней
точке этого отрезка, причем F’(x)
= f(x)
Доказательство:
Пусть F’(x)
=(
)’
=
.
Для
x
(a,b)
выберем ∆x
столь малым, чтобы точка x+
∆x
лежала внутри отрезка [a,b];
тогда F(x+
∆x)
=
К последнему интегралу применим теорему о среднем:
F(x+ ∆x) – F(x) = = f(c)∆x,
где промежуточная точка с находится между x и x+∆x, поэтому
Так
как функция f(x)
непрерывна и c→x
при ∆х→0, то
.
Поэтому
F’(x) = = чтд.