76. Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.

Если ряд сходится ,то предел его общего члена =0. Док-во: Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального n имеем = + , или = - . При n обе частичные суммы и стремятся к пределу S, поэтому из равенства следует,что = - =S-S=0 .

16.Числовые ряды с неотрицательными членами

87. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.

Признак Даламбера: Пусть дан ряд ∑а_n при n= (1; ∞) c положительными членами и сущ. lim= a_{n+1 ÷} a_n =d. Тогда А) при d< 1 ряд сходится; б) d > 1 ряд расходится.

Док - во: а). Пусть lim Аn+1÷An = d (при n стремится к ∞). Для любого E>0 сущ N≥n и │An+1÷An - d│< E/

-E< An+1÷An< E+d

d-E<An+1÷An<E+d.

Возьмем Е таким, чтобы d+E<1, тогда d+E=q , следовательно, An+1÷An<q → An+1<q*An

A2<A1*q

A3<A2*q = A1*q²

A1<A3*q = A1*q³

1. (2)

эта система бесконечно убыв прогрессия

An+1<An*q<A1*qⁿ

Члены ряда (1) меньше членов ряда (2), а (2) сходится и в силу 1ого признака сравнения (1) ряд тоже сходится.

Б) lim An+1÷ An=d

│An+1÷An -d│< E

-E<An+1÷An -d<E

d-E<An+1÷An<E+d

Пусть Е будет таким, что d-E>1, d-E=q → An+1÷An> q → An+1>An*q → An+1> An→ Общий член послед не стремится к нулю, следовательно, ряд расходится.

87. Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак применим.

Если существует предел: , то

1. при L < 1 ряд сходится

2. при L > 1 ряд расходится

3. при L = 1 необходимы доп. исследования. (признак неприменим)

Пример:

Докажем сходимость: сравним с рядом: . Поскольку при всех n => достаточно доказать сходимость этого ряда. Так как , то = Т.о. . Этот ряд сходится => искомый ряд тоже сходится. Признак Даламбера не работает:

87. Дайте определение гармонического ряда. Докажите, что гармонический ряд расходится.

- гармонический ряд.

Док-во расходимости:

По интегральному признаку Коши: f(x)= - монотонно убывает на [1;∞), f(x)→0 при x→∞. Тогда = lim(lnx)-ln1 = ∞ => ряд расходится

1=1/2+1/3+…+1/n+…=∑1/n при n =(1;∞) такой ряд называют гармоническим рядом. Для гарм ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как lim An=lim1/n=0 при n→∞. Докажем, что этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S, мы бы имели lim( S_2n-S_n)= lim S_2n-limS_n=S-S=0. Но S_2n-S_n=1/n+1+1/n+2+…1/2n>1/2n+1/2n+1/2n+…1/2n=n*1/2n=1/2,т.е. S_2n-S_n>1/2. Отсюда следует, что равенство lim(S_2n-S_n)=0 невозможно, т.е. гармонический ряд расходится.