62. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница.

Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – первообразная для f(x). Тогда

(1)

Доказательство: Поскольку функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет на нем первообразную, а именно, функцию F(x). Проверим справедливость формулы (1).

подставляя x=b,получим , а подставляя x=a, получим . Поэтому

чтд.

62. Докажите, что для любых непрерывных на отрезке функций и справедливо равенство .

Интеграл от суммы двух функций f1(x) и f2(x) по отрезку [a,b] равен сумме интегралов от этих функций по тому же отрезку:

Доказательство: Из свойств неопределенного интеграла следует, что если F1(x) – первообразная для функции f1(x), а F2(x) – первообразная от f2(x), то первообразной от суммы функций будет служить сумма первообразных. Следовательно:

76. Применив замену переменной, докажите, что для любой непрерывной на отрезке нечетной функции справедливо равенство . В чем состоит его геометрический смысл?

Замена переменной x=-t; t=-x

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

14.Несобственные интегралы

76. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом. При каких значениях сходится интеграл ?

Несобственным интегралом ф-ции f(x) на луче от называется конечный предел определенного интеграла f(x) на [a,b] при

Обозн.:

Если конечный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл с неограниченным верхним пределом сходится

2) Рассмотрим различные случаи:

(1) а = 1для любого b>0

т.е. конечного предела не существует и несобственный интеграл расходится.

(2) при для любого b>0

Т.о. интеграл сходится при a>1 и расходится при

76. Дайте определение несобственного интеграла от неограниченной функции. При каких значениях сходится интеграл ?

Вычислите интеграл или установите его расходимость:

Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается .

=lim_ε→0+0. =lim_ε→0+0( )= -lim_ε→0+0 Данный интеграл сходится, если сходится предел lim_ε→0+0 , а он сходится при 0<α<1

Вычислите интеграл или установите его расходимость:

76. ;

77. ;

сходится

76. ;

77. .

Ряды

15.Сходимость и сумма числового ряда

76. Дайте определения числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда при .

Определение. Пусть дана числовая последовательность а₁ ,а₂, а₃….a_n . Выражение вида

называют числовым рядом, или просто рядом.

Числа а₁ ,а₂, а₃,….a_n называют членами ряда, число а_п с общим номером п называют общим членом ряда.

Суммы конечного числа первых членов ряда

называют частичными суммами ряда. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют числовую последовательность