Функции нескольких переменных.

6.Предел и непрерывность функции

47. Дайте определение предела функции двух переменных в точке. Докажите, что функция не имеет предела в точке

Пусть {А_k} – последовательность точек в Rⁿ. Точка А, принадлежащая Rⁿ, наз-ся пределом п-ти точек {А_k}, если любая окрестность точки А содержит в себе все члены п-ти, начиная с некоторого достаточно большого номера N. То есть для всякого k > N точка А_k принадлежит к этой окрестности.

47. Будет ли функция непрерывна в точке . Дайте обоснованный ответ.

Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если предел этой функции существует и равен значению функции в этой точке: limf(M)=f(A) MA

7.Частные производные, дифференцируемость, дифференциал

47. Дайте определение частной производной функции по переменной , в точке . Найдите , если .

Частной производной по у функции z=f(x;y) называется предел отношений приращения ∆_хz к приращению ∆х, при ∆х→0.

Zَx= =lim(x₀+∆х ; y₀)-f(x₀ ;y₀)/∆х, у=const.

= +

=е

47. Дайте определение частной производной функции по в точке . Найдите , если

Частной производной по у функции z=f(x;y) называется предел отношений приращения ∆_yz к приращению ∆у, при ∆у→0.

Zَx= =lim(x₀ ; y₀+∆y)-f(x₀ ;y₀)/∆y, x=const

47. Дайте определение дифференцируемости функции в точке. Докажите, что если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке (x₀,y₀), если ее полное приращение можно представить в виде

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Достаточное условие дифференцируемости функции m переменных: Пусть функция f( ) определена в некоторой окрестности точки . Пусть у функции в этой окрестности существуют непрерывные частые производные по всем переменным, тогда функция f дифференцируема в этой точке.

, где - б.м. ф-ция при .

=> ф-ция z=f(x,y) непрерывна в точке (х₀;y₀).

8.Производная по направлению, градиент

47. Как связаны производная по направлению и градиент дифференцируемой функции ? Чему равна производная по направлению, перпендикулярному градиенту?

Пусть вектор l – произвольное направление, которое образует с Ох угол α, а с Оу угол β. Тогда их косинусы – направляющие косинусы l. . Градиент – вектор, координаты которого являются значениями частной производной в произвольной точке M по каждой переменной. . Он указывает направление наибыстрейшего роста. Связаны они тем, что значение (или производная ф-ции по направлению) является скалярным произведением направляющего вектора на градиент. Так как произведение ортогональных векторов равно нулю, то производная по направлению, перпендикулярному градиенту, также равна 0.

47. Дайте определение градиента функции в точке . Докажите, что в направлении градиента происходит наиболее быстрый рост функции. Чему равна скорость этого роста?

Градиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным , взятым в точке M(x,y).

Градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость равна модулю градиента.

По определению скалярного произведения . Учитывая, что . Из последнего следует, что производная по направлению имеет наибольшую величину при , то есть когда направление вектора совпадает с направлением . Скорость роста равна модулю градиента.

9.Локальный экстремум

47. Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Является ли равенство нулю частных производных функции в некоторой точке достаточным условием ее локального экстремума в этой точке?

Точка называется точкой локального максимума (минимума) ф-ции ,если существует такая -окрестность, точки в которой для любой точки - выполняется неравенство

1)Для того, чтобы дифференцируемая ф-ция имела локальный экстремум в точке , необходимо, чтобы все ее частные производные первого порядка в этой точке были равны 0.

2)для того чтобы дифференцируемая функция имела локальный экстремум в точке а, необходимо, чтобы определитель вида f’’_xx f’’_xy был больше 0.

f’’_xy f’’_yy