46. Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.

Если ряд сходится ,то предел его общего члена =0. Док-во: Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального n имеем = + , или = - . При n обе частичные суммы и стремятся к пределу S, поэтому из равенства следует,что = - =S-S=0 . 48. Докажите, что для сходимости ряда , необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена. Док-во: Пусть ряд сходится. Тогда существует предел его частичных сумм. Из свойств пределов следует,что посл-ть частичных сумм ограничена. Достаточность: Т.к. все члены данного ряда положительны и для любого n Но известно, что ограниченная сверху монотонная последовательность имеет предел. 49. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.

Если для ряда с положительными членами

сущ. такое число q , то при всех n выполняется неравенство:

то ряд сходится .Если же для всех n, то ряд расходится.

Док-во: Отбросив несколько первых членов ряда, можно считать, что неравенство выполняется для всех n=1, 2… Перепишем это неравенство в виде . Отсюда имеем и т.д.Вообще для любого n справедливо неравенство . Это показывает , что члены ряда не превосходят соответсвующих членов геометр прогрессии Т.к. по условию 0 , это прогрессия сходится. В силу первого признака сравнения сходится и данный ряд. В случае,когда , то есть члены ряда образуют неубывающую последовательность, и поэтому не выполняется необходимый признак сходимости ряда , который полностью доказывает теорему.

52. Сформулируйте интегральный признак сходимости числового ряда с положительными членами. При каких положительных значениях ряд сходится, а при каких расходится? Интегральный признак: Пусть неотрицательная функция y=f(x) определена и монотонно убывает для x>1. Тогда для сходимости ряда f(1)+f(2)+…+f(n)+… необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл ∫₁^∞f(x)dx

Практика:

, при каких α ряд сходится, при каких расходится.

3) Рассмотрим случай при 0<a<1

Имеем . Сравним с , при , так как - гармонический и расходится, то по первому признаку сравнения исходный ряд тоже сходится.

4) рассмотрим случай при :

Имеем

Получается: , в силу того что q>0

53. Какой числовой ряд называется гармоническим? Докажите, что гармонический ряд расходится. В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда^[1]:

.

Ряд назван гармоническим, так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних. Доказать, что гармонический ряд расходится. Док-во: предположим противное. Пусть гармонический ряд сходится и существует предел S=limn→∞S_nего конечных сумм. Тогда рассмотрим предел разности его частичных сумм S_2nи S_n: limn→∞(S_2n-S_n)=limn→∞S_2n-limn→∞S_n=S-S=0. С другой стороны, разность S_2n-S_nможно оценить непосредственно: S_2n-S_n = (1+1/2+…+1/n+….+1/(n+1)+….+1/2n)-(1+1/2+…..+1/n)= 1/(n+1)+ 1/(n+2)+….+1/2n. Оценивая слагаемые, входящие в последнюю сумму 1/(n+1)> 1/2n, 1/(n+2)> 1/2n,…,1/(2n-1)>1/2n, получаем, что для любого натурального nимеет место неравенство S_2n-S_n>1/2n+1/2n+….+1/2n=n*1/2n=1/2, что противоречит условию.

54. Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно. Признак Лейбница.Если знаки членов ряда чередуются, а абсолютные величины, монотонно убывая, стремятся к нулю, т. е. < и , то ряд сходится, а для его остатков выполняются неравенства: . Пусть - произвольный знакопеременный ряд. Рассмотрим ряд , составленный из абсолютных величин его членов. Если ряд сходится, то сходится и ряд , при этом ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.Пример: - знакочередующийся ряд. Убедимся, что модуль общего члена монотонно убывает:

>1 для всех п. Далее, . Таким образом, по признаку Лейбница данный ряд сходится. Продолжим исследование модуля общего члена данного ряда. Сравним его с общим членом гармонического ряда. Имеем . Следовательно, данный ряд, как и гармонический, расходится. Окончательно можно утверждать, что данный ряд сходится условно.

55. Сформулируйте теорему Абеля для степенных рядов. Может ли ряд , расходящийся в точке , сходиться при ? Если степенной ряд a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… сходится при некотором х=х₀, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих условию |х|<|x₀|; Если ряд a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… расходится при некотором х=х₁, то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию |х|>|x₁|

_∑∞a_nxⁿ, расходящийся в точке -2 не может сходиться при х=3, т.к. |-2|<|3| следовательно согласно теореме Абеля ряд в точке х = 3 сходится, и притом абсолютно.

56. Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Используя эту теорему, найдите сумму ряда при . Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда: пусть функция f(x) разлагается на интервале (-R,R) в степенной ряд: f(x) = a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…(1). Рассмотрим степенной ряд: a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1+…(2), полученный почленным дифференцированием ряда (1). Тогда:

1. ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1).

2. на всем интервале (-R,R) функция f(x) имеет производную f^,(x), которая разлагается в степенной ряд (2).

∑nxⁿ=x∑nx^n-1=x∑(xⁿ)’=x/(1-x)²

∑xⁿ=x/(1-x) |x|<1 – сходится

∑nx^n-1=(x/1-x)’=(1-x+x)/1/(1-x)²

57. Сформулируйте достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Докажите, что функция разлагается в ряд Маклорена на любом интервале . Достаточное условие разложения функции в ряд Маклорена: пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале (-R,R). Если существует такая постоянная: M=const для любого х (-R, R) <M, n=0,1,2,… , то в этом интервале ряд Маклорена сводится к функции f(x). Имеем: (sinx)’=cosx; (sinx)’’=-sinx, (sinx)’’’=-cosx, (sinx)⁽⁴⁾=sinx. Отсюда видно, что последовательность производных функции sinx периодична с периодом 4. При х=0 получаем sin0=0, sin’(0)=1, sin’’(0)=0, sin’’’(0)=-1 В общем случае все производные четного порядка равны 0, а нечетного sin^(2т+1)(0)=(-1)ⁿОтсюда ряд Маклорена для sinx:Sinx=x-(x³/3!)+(x⁵/5!)-…+(1)ⁿ(x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!)+…

58. Сформулируйте достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Докажите, что функция разлагается в ряд Маклорена на всей числовой оси. Достаточное условие разложения функции в ряд Маклорена: пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале (-R,R). Если существует такая постоянная: M=const для любого х (-R, R) <M, n=0,1,2,… , то в этом интервале ряд Маклорена сводится к функции f(x). Пусть f(x)=e^x. В любом интервале (-r;r) имеем |f⁽ⁿ⁾(x)|= e^x<e^r. В силу признака Даламбера отсюда следует, что функция е^ч равна сумме своего ряда Маклорена при хϵ(-r;r), а значит, и для любого х ввиду произвольности r. Поскольку f⁽ⁿ⁾(0)=e⁰=1 при любом n, получаем разложение e^x=1+x+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xⁿ/n!)+… справедливо для всех х.