29. Как связаны производная по направлению и градиент?

=(grad f(M), ) – скалярное произведение векторов

Произведение по направлению представляет собой скалярное произведение и вектора с координатами ( ) (градиент)

= * *cos

Если , то производная равна 0

30. Определение градиента. Градиентом функции в т. М называется вектор, координаты которого равны частным производным данной функции в точке м

grad f(M)=( )

Градиент указывает направление наискорейшего роста функции

=(grad f(M), )= * *cos - достигает наибольшего значения при

cos при , т.е. в направлении градиента

31. Определение однородной функции степени α. Пусть D из Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая с каждой своей точкой (x₁, x₂, …., x_n) и все точки вида (tx₁, tx₂, …., tx_n) при t>0 функция f(x₁, x₂, …., x_n) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx₁, tx₂, …., tx_n)=t^λ f(x₁, x₂, …., x_n).

Да, является. 2 степени. =t²

32.Пример однородной функции степени 3, не являющейся рациональной функцией:

F (x,y)=x²

F (tx, ty)=t²x²√(tx*ty)=t³ F (x,y)

33. Вывести формулу Эйлера для однородной функции трех переменных.

f (tx₁, tx₂,tx₃)=t^λ f(x₁, x₂, x₃). u= f(x,y,z)

или, короче,

34. Определение локального экстремума для функции двух переменных. Является ли равенство нулю частных производных функций в некоторой точке достаточным условием ее локального экстремума в этой точке? Пусть z=f(x;y) определена в некоторой области D и точка М(х₀;у₀) – внутренняя точка D (М принадлежит D), тогда данная функция в данной точке будет иметь локальный минимум (максимум), если найдется  - окрестность точки М, что для всех внутренних точек этой окрестности, отличных от М(х₀;у₀) выполняются неравенства:

f(x;y)>f(х₀;у₀) – min или

f(x;y)<f(х₀;у₀) – max

Нет, т.к. это является необходимым условием.

35. Имеет ли функция f(x,y)=x⁶y⁴ локальный экстремум в точке (0,0)?

Вводим переменную h так, чтобы g(x,y) = (x-h)⁶(y-h)⁴ . Подставляем точку (0,0) – получается, что g = (-h)⁶ * (-h)⁴ = h^1o – четная, неотрицательная => экстремум есть.

36. f(x,y)=xy⁴ (0,0)

Аналогично 35, но там получается g = h⁵ и экстремума нет.

3

x=0 y=0

7. f(x.y)=x²-y² (o,o)

Решаем по-человечески, через матрицу Гессе

=-4 <0 точек нет Ответ: нет

44. Дайте определение числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда при при

Определение. Пусть дана числовая последовательность а₁ ,а₂, а₃….a_n . Выражение вида называют числовым рядом, или просто рядом.

Числа а₁ ,а₂, а₃,….a_n называют членами ряда, число а_п с общим номером п называют общим членом ряда.

Суммы конечного числа первых членов ряда

называют частичными суммами ряда. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют числовую последовательность

45. Дайте определения числового ряда и его суммы. Исходя из определения докажите, что сумма ряда равна числу 1.

Так как = - , то для n-ной частичной суммы ряда получим выражение : Sn=(1- )+( - ). Sn= 1- .Cледовательно, =1.Итак, ряд сходится и сумма его равна 1.