2. Докажите, что d(

Исходя из свойства неопределенного интеграла, получаем, что дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Действительно, d(

3. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Пусть u(x) и v(x)-2 дифференцируемые функции на промежутке Х.Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям

Доказательство:

d(uv)=udv+vdu

Интегрируем обе части, и по свойству 2 неопределенного интеграла получим:

uv= ,откуда получается исходная формула

4. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла

Пусть функция x=g(t) определена и дифференцируема на промежутке Т и Х-множество ее значений, на котором определена f(x). Тогда если F(x)-первообразная для f(x) на Х, то F(g(t))-первообразная для f(g(t))g’(t) на Т, т.е. на множестве Т выполняется равенство

(1)

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции

F_t’(g(t))=F’_x(g(t))*g’(t)=f(g(t))*g’(t)

Что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства,и это доказывает равенство(1)

5. Докажите, что если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] , то функция F(x)= является ее первообразной на этом отрезке

Если функция f(t) непрерывна на отрезке [a,b], то функция F(x)= дифференцируема на (a,b) и F’(x)=f(x) Доказательство

По теореме о среднем найдется точка с такая ,что . Так как f(x) непрерывна и с

Поэтому

6. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона-Лейбница.

Пусть F(x) является первообразной для непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x). Тогда

Т.к. функция f(x) непрерывна на [a,b], то она интегрируема на нем и имеет первообразную F(x)=

Подставляя х=а, получим 0=F(a)+c , т.е. с=-F(a) . Тогда

7. Применив замену переменной в определенном интеграле, докажите, что для любой четной непрерывной на отрезке[-a; a] функции f (x) справедливо равенство . В чем состоит его геометрический смысл?

Так как f(x) непрерывна на [-a,a], тогда пусть х=g(t) определена на [ ] и имеет производную внутри этого отрезка, причем g(

Доказательство

Пусть F(x) – первообразная f(x), тогда F’(x)=f(x) F(g(t))’=F’(g(t))*g’(t)

Можно заметить, что если подынтегральная функция f(x) четная на отрезке [a,b], то F(x) нечетна на этом отрезке, т.е. F(-x)=-F(x)

1)рассмотрим =F(0)+F(a)

2) рассмотрим =F(a)+F(0)

Получается, что они равны, ч.т. д

Геометрический смысл. Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми х=а, x=b при a<b, осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции y=f(x)

1. Докажите, что если F₁(x) и F₂(x) первообразные функции f(x) на интервале Х, то F₂(x)= F₁(x)+c, где с-произвольная постоянная

Пусть F₁(x) и F₂(x) первообразные функции f(x) на интервале Х ,тогда из определения первообразной F₁’(x)=f(x) и F₂’(x)=f(x)

(F₁(x)+c)’= F₁’(x)+c’=f(x)+0=f(x) F₂(x)= F₁(x)+c ,ч.т.д

8. Применив замену переменной в определенном интеграле, докажите, что для любой четной непрерывной на отрезке[-a; a] функции f (X) справедливо равенство . В чем состоит его геометрический смысл?

Так как f(x) непрерывна на [-a,a], тогда пусть х=g(t) определена на [ ] и имеет производную внутри этого отрезка, причем g(

Доказательство

Пусть F(x) – первообразная f(x), тогда F’(x)=f(x) F(g(t))’=F’(g(t))*g’(t)

Пусть и g(

Можно заметить, что если подынтегральная функция f(x) нечетная на отрезке [a,b], то F(x) четная на этом отрезке, т.е. F(-x)=F(x)

1)рассмотрим =F(0)-F(a)

2) рассмотрим =-(F(0)-F(а))

, ч.т. д

Геометрический смысл. Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми х=а, x=b при a<b, осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции y=f(x)