§2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

1. Модель, на которой можно продемонстрировать сложение взаимно перпендикулярных колебаний, представлена на Рисунке 2.3. Маятник (материальная точка массой m) может совершать колебания по осям ОХ и ОУ под действием двух сил упругости, направленных взаимно перпендикулярно.

Рисунок 2.3

Складываемые колебания имеют вид:

.

Частоты колебаний определяются как  ,  , где  ,   -коэффициенты жесткости пружин.

2. Рассмотрим случай сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами  , что соответствует условию  (одинаковые пружины). Тогда уравнения складываемых колебаний примут вид:

Когда точка участвует одновременно в двух движениях, ее траектория может быть различной и достаточно сложной. Уравнение траектории результирующего колебаний на плоскости ОХУ при сложении двух взаимно перпендикулярных с равными частотами можно определить, исключив из исходных уравнений для х и y время t:

.

Вид траектории определяется разностью начальных фаз складываемых колебаний, которые зависят от начальных условий (см. § 1.1.2). Рассмотрим возможные варианты.

а) Если  , где n = 0, 1, 2…, т.е. складываемые колебания синфазные, то уравнение траектории примет вид:

 (Рисунок 2.3 а).

Рисунок 2.3.а	Рисунок 2.3 б

б) Если   (n = 0, 1, 2 …), т.е. складываемые колебаний находятся в противофазе, то уравнение траектории записывается так:

 (Рисунок 2.3б).

В обоих случаях ( а, б) результирующее движение точки будет колебание по прямой, проходящей через точку О. Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний ω₀, амплитуда определяется соотношением:

.

Угол, который прямая (траектория) составляет с осью ОХ, можно найти из уравнения:

 (знак "плюс" – случай а, знак "минус" – случай б).

Результатом сложения взаимно перпендикулярных колебаний (случай а и б) является колебание, которое называется линейно поляризованным.

в) Если   (n = 0, 1, 2 …), то уравнение траектории результирующего движения примет вид:

.

Это уравнение эллипса, его оси совпадают с осями координат ОХ и ОУ, а размеры его полуосей равны   и   (Рисунок 2.4 ).

Рисунок 2.4

Точка в результате участия в двух взаимно перпендикулярных колебаниях описывает эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний  .

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами.

Складываются взаимно перпендикулярные колебания, частоты которых не равны  , но  ,  , где a и b – целые числа.

Периоды колебаний вдоль осей ОХ и ОУ соответственно равны   и  . Отношение периодов  .

Траектория точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях с кратными частотами, - замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории называются фигурами Лиссажу

27. Свободные колебания. Коэффициент затухания, декремент затухания, добротность колебательной системы

Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида   в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний   или её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАНИЯ (от лат. decrementum - уменьшение, убыль) (логарифмический декремент затухания) - количественная характеристика быстроты затухания колебаний в линейной системе; представляет собой натуральный логарифм отношения двух последующих максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону. T. к. в линейной системе колеблющаяся величина изменяется по закону   (где постоянная величина   - коэф. затухания) и два последующих наиб. отклонения в одну сторону X₁ и X₂ (условно наз. "амплитудами" колебаний) разделены промежутком времени  (условно наз. "периодом" колебаний), то   , а Д. з.  .

Добро́тность — характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

•  — резонансная частота колебаний

•  — энергия, запасённая в колебательной системе

•  — рассеиваемая мощность.

28. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частотаопределяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по

закону:  .