6. Виды распределений случайных величин
6.1. Равномерное распределение дсв
Случайная величина
,
принимающая целые значения от 1 до
,
имеет равномерное распределение, если
.
Найдем математическое ожидание и дисперсию равномерно распределенной случайной величины :
;
Пример. Имеется связка из 5 ключей, из которых только один подходит к открываемому замку. Найти распределение случайной величины – числа ключей, которые пришлось опробовать прежде, чем открыли замок.
Очевидно, может принимать значения от 1 до 5, вероятности которых можно вычислить так:
;
.
Если
,
значит, опробованы 2 ключа. Данное событие
представляет собой произведение двух
событий: первый ключ не подошел,
вероятность 4/5, второй подошел –
вероятность 1/4.
Далее рассуждаем аналогично:
;
;
.
6.2. Биномиальное распределение дсв
Случайная величина , принимающая целые значения от 0 до , имеет биномиальное распределение, если
.
Такое распределение имеет случайная
величина
,
равная числу осуществлений некоторого
события А в серии из
испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события А постоянна и равна
.
Числовые характеристики биномиального
распределения можно найти по формулам:
.
Пример. В корзине 50 шаров, из них 10 черных. Достают 5 шаров, причем выборка осуществляется с возвращением. Охарактеризовать случайную величину Х — число обнаруженных в выборке шаров черного цвета.
Величина Х может принимать значения от 0 до 5, т. к. выборка проводится с возвращением, вероятность обнаружить всякий раз черный шар постоянна и равна 10/50 = 0,2. Вероятности каждого значения вычислим по формуле Бернулли:
,
где
.
Получим ряд распределения:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0,32768 |
0,4096 |
0,2048 |
0,0512 |
0,0064 |
0,00032 |
Найдем функцию распределения
:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,32768 |
0,73728 |
0,94208 |
0,99328 |
0,99968 |
1 |
Наивероятнейшее значение
(
)
определяется из неравенства
или
.
Целым значением, удовлетворяющим этим
двум неравенствам, является
=
1. Значит,
,
что видно и из ряда распределения.
6.3. Гипергеометрическое распределение дсв
Случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если
.
Такое распределение получается в
следующей задаче. Имеется генеральная
совокупность из
объектов, в числе которых находится
интересующих исследователей объектов.
Из генеральной совокупности проводится
выборка без возвращения объемом
.
Тогда случайная величина
,
равная числу интересующих нас объектов
из совокупности
,
обнаруженных в выборке, имеет
гипергеометрическое распределение.
Пример. Воспользуемся условием предыдущей задачи, считая, что выборка осуществляется без возвращения, и найдем закон распределения случайной величины , равной числу черных шаров в выборке.
Случайная величина может также меняться от 0 до 5. Вычислим вероятности каждого значения по формуле:
Составим ряд распределения
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0,310563 |
0,431337 |
0,20984 |
0,044177 |
0,003965 |
0,000119 |
Как видим, вероятности отдельных значений Х несколько изменились по сравнению с их значениями, рассчитанными по формуле Бернулли.
Числовые характеристики гипергеометрического распределения:
В данном примере
.
Формулой для математического ожидания
можно воспользоваться для оценки размера
генеральной совокупности, если
непосредственно подсчитать число
объектов в ней затруднительно. Такая
ситуация возникает, если нужно знать,
например, число животных в популяции,
обитающей на какой-либо территории,
число птиц в стае, рыб в замкнутом водоеме
и т. п. В этом случае метят
объектов из всей совокупности. Через
некоторое время отбирают
объектов и записывают количество
меченых. Повторяя отбор несколько раз,
находят среднее количество меченых
объектов, которое можно принять равным
.
Зная
,
и
можно найти
.