6.4. Геометрическое распределение дсв

Случайная величина имеет геометрическое распределение, если

Такое распределение имеет случайная величина, равная числу испытаний в схеме Бернулли до первого успеха (первого осуществления нужного события).

Пример. Воспользуемся условием задачи из пунктов 32.2. и 32.3., но теперь уже будем проводить выборку с возвращением только до тех пор, пока не встретится черный шар. Составим ряд распределения случайной величины Х – количества сделанных попыток до появления черного шара.

Величина Х может принимать бесконечное множество значений 0,1,2... Их вероятности вычисляются по формуле:

.

Вычислив по ней вероятности, составим ряд распределения:

	0	1	2	3	4	5	. . .
	0,2	0,16	0,128	0,1024	0,8192	0,06553	. . .

Значения вероятностей являются членами геометрической прогрессии, использование свойств которой приводит к следующим формулам для числовых характеристик

.

Замечание. Формулы применимы, если число попыток не ограничено.

В данном примере .

В некоторых задачах геометрическое распределение используется и для вычисления вероятностей общего числа сделанных попыток, причем число попыток может быть ограничено величиной . В этом случае принимает значения от 1 до , а их вероятности равны:

	1	2	. . .		. . .
			. . .		. . .

6.5. Распределение Пуассона дсв

Случайная величина , принимающая бесконечное множество значений 0,1,2… имеет распределение Пуассона, если

,

где – параметр распределения, имеет смысл среднего числа наступлений события за единицу времени. Величины, которые подчиняются подобному распределению, были описаны в разделе.

Числовые характеристики пуассоновского распределения:

.

32.6. Равномерное распределение нсв

Случайная величина , принимающая значения на отрезке , имеет равномерное распределение, если плотность распределения имеет вид:

Функция распределения:

.

Графики функций и приведены на рисунках.

Числовые характеристики равномерного распределения:

Пример. Известно, что НСВ равномерно распределена, причем ; . Найти промежуток , на котором принимает свои значения.

Воспользовавшись предыдущими формулами, составим систему:

У этой системы два решения: и . Т.к. должно быть , то выбираем первую пару в качестве концов отрезка.

6.7. Показательное распределение нсв

Случайная величина , принимающая неотрицательные значения ( ) имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром , если плотность распределения имеет вид:

Такое распределение имеет случайная величина, равная времени, прошедшему с начала отсчета до наступления события, которое в среднем происходит раз за единицу времени.

Функция распределения

.

Если событием является отказ в работе некоторой системы, имеет смысл среднего числа отказов (сбоев, поломок) системы. Чем меньше , тем надежней система, тем меньше (при фиксированном значении ) , поэтому функция распределения носит название функции надежности.

Вид графиков функций и представлен на рисунках.

Числовые характеристики показательного распределения:

(При вычислениях использован метод интегрирования по частям.)

Пример. В приборе за год работы происходит смена 10 деталей. Подсчитать вероятность выхода из строя прибора из-за неисправности деталей за 1000 часов непрерывной работы.

Пусть Х — время непрерывной работы прибора (до первой неисправности). Тогда . Подставляя значение найдем .