Течение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса.

Для анализа течения вязкой жидкости в правую часть уравнения движения (3.28) необходимо добавить силу вязкого трения, приложенную к единице объема жидкости. Для того, чтобы избежать лишних выкладок, мы ограничимся рассмотрением двумерного слоистого течения жидкости в направлении оси x, при этом единственная компонента скорости v_x зависит от поперечной координаты y (рис. 4.3). На верхнюю грань dxdz кубика dxdydz (ось z перпендикулярна плоскости чертежа) в соответствии с (4.1) в направлении оси x действует увлекающая сила  , а на нижнюю грань - тормозящая сила  . Поэтому равнодействующая сил вязкого трения, приложенная к выделенному кубику, равна

(4.2)

а сила, приложенная к единице объема, составит

23. Ламинарное и турбулентное течение. Число Рейнольдса. Движение вязкой жидкости в трубе. Формула Пуазейля. Метод Стокса.

ХЕРНЯ КАКАЯ ТО

24. Понятие о колебательных процессах. Смещение, скорость, ускорение материальной точки, совершающей колебательное движение. Амплитуда. Период. Частота

Колеба́ния — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.

Частота колебаний – это число колебаний, совершаемых в единицу времени.

Период колебаний – это промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание.

Амплитуда – это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Измеряется в метрах, сантиметрах и т.п.

Системы тел, которые способны совершать свободные колебания, называются колебательными системами.

Частота свободных колебаний называется собственной частотой колебательной системы.

Если мячик за одну секунду совершает два колебания, то частота его колебаний составляет 2 Гц. То есть ν = 2Гц.

 

26. Маятники: физический, математический и пружинный

Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х=А соs (₀t + ) с циклической частотой

                                                   (142.2)

и периодом

                                                (142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол , то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде

 

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве­са О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, F_= –mg sin –mg. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_ и  всегда противоположны; sin  соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде

Принимая

                                                        (142.5)

получим уравнение

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

                                                    (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ₀ (см. (142.5)) и периодом

                                        (142.7)

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса

станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

                                                                     (142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физичес­кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

                                                    (142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

25. Сложение гармонических колебаний: колебаний одного направления, взаимно перпендикулярных колебаний