23Что называется моментом силы, действующей на материальную точку, относи­тельно начала координат?

24. Что называется моментом импульса материальной точки относительно начала координат?

Для простоты рассмотрим случай плоского движения, т.е. траектория движения материальной точки лежит в одной плоскости, которую мы расположим перпендикулярно плоскости листа. Выберем на плоскости начало координат О и положение материальной точки будем описывать радиус-вектором . Скорость точки , ее импульс , ускорение , и сила будут расположены в плоски движения материальной точки, как показано на рисунке.

Введем две новые физические величины: момент силы и момент импульса относительно начала координат O.

-

- момент силы относительно начала координат.

Модуль вектора равен

, где - угол между векторами и . Если опустить перпендикуляр из точки O на направление действия силы, то его длина будет плечом силы , и модуль момента сил будет равен произведению силы на плечо, т.е. , что совпадает со школьным определением момента силы.

Аналогично моменту силы вводится момент импульса - - момент импульса материальной точки относительно начала координат. ,

где - угол между векторами и , —плечо импульса , т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки O на направление вектора материальной точки. Оба вектора и , согласно определения направлены перпендикулярно плоскости движения материальной точки.

25. Получите закон изменения момента импульса материальной точки относительно начала координат (уравнение моментов для материальной точки).

В общем случае неплоского движения, направление векторов и не совпадают, но существует закон, который связывает момент импульса с моментом силы . Чтобы установить этот закон, возьмем производную от вектора :

.

В результате получаем -закон изменения момента импульса материальной точки относительно начала координат.

26. Что называется моментом инерции твердого тела относительно оси вращения?

Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Чтобы удержать ось от перемещений в пространстве, заключим её в подшипники. Опирающийся па нижний подшипник фланец Фл , предотвращает передвижение оси в вертикальном направлении .

Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменным расстоянием между ними. Линейная скорость элементарной массы равна , где -расстояние массы от оси вращения. Следовательно, для кинетической энергии элементарной массы получается выражение

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела складывается из кинетических энергий его частей.

Сумму, входящую в правую часть этого соотношения назовём моментом инерции I тела относительно оси вращения

- момент инерции твёрдого тела.

27. Получите выражение для момента импульса твердого тела относительно непод­вижной оси вращения.

28. Выведите формулу для момента инерции однородного тонкого стержня длиной / и массы т относительно оси, проходящей через центр масс стержня и перпен­дикулярной стержню.

29. Выведите формулу для момента инерции однородного тонкого стержня дли­ной / и массы т относительно оси, проходящей через конец стержня и перпен-^ \ дикулярной стержню.

30 Выведите формулу для момента инерции однородного тонкого диска радиуса и массы т относительно оси, проходящей через центр масс диска и перпендику лярной плоскости диска.

31. Выведите формулу для момента инерции тонкого обруча радиуса К и массы т относительно оси, проходящей через центр масс обруча и перпендикулярной плоскости обруча.

Пример 1: Вычисление момента инерции тонкого стержня массы m и длинной l, вращающегося вокруг оси перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

Б

удем считать стержень однородным, тогда

Другие примеры значений моментов инерции для некоторых тел правильной формы приведём без вычислений .

Пример 2: Полый тонкостенный цилиндр, тонкое кольцо :

- момент инерции цилиндра или

тонкого кольца

Пример 3: Сплошной цилиндр, диск.

- момент инерции сплошного

цилиндра или диска

Пример 4: Сплошной шар .

- момент инерции шара.

Заметим, что во всех приведённых примерах, тела предполагаются однородными, и вычисляются моменты инерции относительно центральных осей,

т.е. осей проходящих через центр масс.