2. Лінійні втрати напору при русі рідини

2.1. Ламінарний рух рідини

Теорія ламінарного руху рідини ґрунтується на законі тертя Ньютона

,

Знаки " ± " означають, що дотичні напрями в сусідніх шарах однакові по величині, але протилежно направлені. Для отримання виразів по обчисленню параметрів ламінарного потоку розглянемо сталу течію в круглій прямій трубі радіусу r₀, розташованій горизонтально (рис. 5).

Рис. 4.5. До теорії ламінарного руху рідини в трубі

Для цього випадку z₁ = z₂ і V_cp = f(l) = соnst. В цьому випадку рівняння Бернуллі набуває вигляду:

(5)

Звідси втрати на тертя

(6)

Виділимо в потоці рідини циліндричний об'єм радіусом r і завдовжки l, співісний з трубою. Умовою його рівноваги є рівність нулю суми сил нормального тиску, що діють на торці виділеного об'єму, і сил тертя, що діють уподовж його бічної поверхні. Отже,

(7)

Звідси

(8)

Висновок: при ламінарному русі дотичне напруження за радіусом трубопроводу змінюється по лінійному закону. Швидкість при цьому з урахуванням 4.1 і 4.8

(.9)

Тобто швидкість змінюється пропорційно квадрату радіусу. Оскільки елементарна витрата dQ = VdS, то сумарна витрата в трубопроводі

(10)

Звідси можна визначити середню швидкість

(11)

Порівнюючи (4.11) з (4.8) при r = 0 одержимо, що

(12)

Визначивши питому кінетичну енергію за фактичною швидкістю з урахуванням (4.9) і порівнюючи її з питомою кінетичною енергією, визначеною по середній швидкості, одержимо

(12)

Втрати напору на тертя, виражені через витрату, визначаються залежністю

(14)

Висновок: при ламінарній течії в круглій трубі втрати напору на тертя пропорційні витраті рідини і в'язкості і обернено пропорційні діаметру в четвертому ступені.

Втрати на тертя можна виразити і через швидкість

(15)

де = 64/Rе - коефіцієнт опору тертя при ламінарній течії (погонний).

Вираз (4.15) відомий як формула Дарсі. Викладена теорія ламінарного руху рідини в круглій трубі добре підтверджується практикою у всіх випадках, за виключенням:

–        У початковій ділянці труби, де відбувається поступове встановлення параболічного профілю швидкостей.

–        При течії із значним теплообміном, тобто при русі рідини з нагріванням або охолоджуванням.

–        За дуже великих перепадів тиску (р > 300 кгс/см² = 300 10⁵ Па), коли в’язкість залежить від тиску.

2.2. Поняття про початкову ділянку

Розглянемо ділянку ламінарного руху при вході рідини з резервуару в трубу. Розподіл швидкостей в цьому випадку виходить практично рівномірним ( ). Потім під дією сил в'язкості відбувається перерозподіл швидкостей по перетину. Шари рідини, що розміщуються поблизу стінки, гальмуються, а центральні шари потоку рухаються прискорено (з умови постійності витрати). На деякій відстані від входу встановлюється параболічний профіль швидкостей.

Рис. 6. Формування параболічного профілю швидкостей

Ділянка труби, на якій відбувається встановлення ламінарного (параболічного) профілю швидкостей називається початковою ділянкою труби, - l_поч.

За межами початкової ділянки маємо стабілізовану ламінарну течію. Коефіцієнт на початковій ділянці змінюється від 1,0 до 2.0.

У початковій ділянці труби _поч > _л і визначається за формулою

,

причому к >1 визначається за графіком рис.7.

Рис. 4.7. Графік зміни коефіцієнтів к і

У кінці початкової ділянки при x = l_поч – к =1,09.

Це означає, що опір початкової ділянки на 9% більший, ніж опір такої ж ділянки труби, узятої у області ламінарної течії. Довжина початкової ділянки визначається за формулою Шиллера:

lпоч = 0,029 Re d

(17)

При розрахунку втрат в довгих трубопроводах впливом початкової ділянки можна нехтувати. Якщо довжина трубопроводу співставна з початковою ділянкою, то її вплив на сумарні втрати треба враховувати.