7. Свертка (конволюция)

И нтеграл Дюамеля. Произвольный сигнал на входе системы с использованием выражений разложения сигнала:

Н а основании принципа суперпозиции линейный оператор Т может быть внесен под знак интеграла:

- интеграл Дюамеля или свертка (конволюция) входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Заменой переменных t-t = t можно убедиться в том, что свертка коммутативна:

Аналогично, для дискретных сигналов:

У прощенная математическая запись в символическом виде:

Техника свертки

Свойства свертки.

1. Дистрибутивность: h(t) * [a(t)+b(t)] = h(t) * a(t)+h(t) * b(t). 2. Коммутативность: h(t) * a(t) * b(t) = a(t) * b(t) * h(t). 3. Ассоциативность: [a(t) * b(t)] * h(t) = h(t) * a(t) * b(t).

П реобразование свертки однозначно определяет выходной сигнал y(t) для установленного значения входного сигнала s(t) при известном значении функции импульсного отклика системы h(t). Обратная задача деконволюции - определение функции s(t) по функциям y(t) и h(t), относится к разряду некорректных. Устойчивая система - для входных сигналов, конечных по энергии или средней мощности, выходные сигналы также должны быть конечными по этим параметрам. Устойчивость обеспечивается при условии абсолютной интегрируемости импульсного отклика системы:

Д ля систем с m входами и n выходами аналогично определяются парциальные импульсные отклики hij(t), i = {1,2, ... ,n}, j = {1,2, ... ,m}, каждым из которых отображается сигнал на i-м выходе при поступлении сигнала δ(t) на j-й вход.

Совокупность импульсных откликов образует матрицу:

Выражение свертки приобретает вид:

8. Системы свертки

Свертка выполняется системой (физическим или программным устройством).

Физические системы, работающие в реальном времени, вычисляют текущее значение выходного сигнала по всем прошлым значениям входного сигнала, и не могут иметь в своем распоряжении будущих значений входного сигнала. Операторы таких систем являются односторонними (каузальными).

Входным сигналом программных систем является сигнал в целом, записанный в память вычислительного устройства. При обработке данных в распоряжении системы при вычислении любой текущей точки выходного сигнала имеются как "прошлые" для данной точки, так и "будущие" значения входного сигнала.

Программные системы могут быть без сдвига фазы выходного сигнала относительно входного. Используют два способа:

1.Система с односторонним каузальным оператором h(t). Входной сигнал s(t) пропускается через систему: g(t) = h(t)*s(t). Выходной сигнал g(t) реверсируется (g(t)=>g(-t), конец сигнала становится его началом в порядке возрастания t) и повторно пропускается через систему: y(-t) = h(t)*g(-t) . Полученный сигнал снова реверсируется (y(-t) => y(t) = h(-t)*g(t)) и является окончательным выходным сигналом y(t) системы. Реверс g(t) Þ свертка c h(t) Þ реверс выходного сигнала эквивалентны свертке сигнала g(t) с реверсированным откликом системы h(-t). Общий результат операции y(t) = h(t)*h(-t)*s(t) не имеет сдвига по фазе выходного сигнала относительно входного

2. y(t) = h(t)*h(-t)*s(t) По свойству коммутативности свертки сначала выполним свертку h(t)*h(-t) = h(t±) и получим один системный оператор h(t±) для свертки без сдвига фазы.

h(t±) - двусторонний и симметричный относительно t = 0. Для предварительно записанных сигналов, т.к. при выполнении свертки y(t)= h(t±)*s(t-t) для отрицательных значений t требуются "будущие" значения входного сигнала s(t+t).

Начальные условия свертки

При вычислении значений y(ti) для значений ti < tmax оператора h(t), функция оператора, при t>ti "зависает" для значений ti-t против отсутствующих значений входной функции. Задают начальные условия: нулевые или равные первому отсчету входной функции, либо начало свертки с отсчета входной функции ki = nmax с соответствующим сокращением интервала выходной функции на интервал задания системного оператора. Для симметричных операторов со значениями -n (вперед по времени) такой же момент наступает и в конце входного массива, и требует задания конечных условий или сокращения размера выходного сигнала.