6. Разложение сигналов по единичным импульсам

Е диничные импульсы. В качестве математической модели единичного импульса при анализе аналоговых сигналов используют дельта-функцию.

δ(t-τ) = 0 при t≠τ

δ(t-τ) = ∞ при t=τ

Функция Кронекера

д искретный интегральный аналог дельта-функции - функция единичного отсчета δ(kΔt-nΔt), которая равна 1 в координатной точке k = n, и нулю во всех остальных точках.

Единичные импульсные функции δ(t-t), -¥<t< ¥, и δ(kΔt-nΔt), -¥<n<¥, образуют в бесконечномерных пространствах системы координатных базисов {δ(t-t)} и {δ(kΔt-nΔt)}, т.к. единичные импульсные функции не перекрываются и, соответственно, взаимно ортогональны.

Импульсный отклик линейной системы

На вход линейной системы в момент времени t = 0 подан единичный импульс (Дирака или Кронекера, в зависимости от типа системы). На выходе получим реакцию системы на единичный входной сигнал - функцию импульсного отклика системы или импульсную характеристику. Она однозначно определяется оператором преобразования h(..):

y(t) = T[δ(t-0)] = h(t). y(kΔt) = T[δ(kΔt-0)] = h(kΔt).

На практике: отображение реакции системы на импульсный входной сигнал произвольной формы с единичной площадью, если длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с временной (координатной) разрешающей способностью системы.

В линейных и инвариантных к сдвигу системах форма импульсного отклика не зависит от времени прихода входного сигнала и определяет только его положение на временной оси. y(t) = T[δ(t-to)] = h(t-to). Односторонность импульсного отклика физических систем: h(t-t) = 0 при t<t.

На вход RC-цепи подан единичный и очень короткий (Δt << RC) импульса заряда Δq. С заряжается до напряжения Vо = Δq/C.Напряжение v(t) = Voexp(-t/RC) = (Δq/C)exp(-t/RC).Импульсный отклик(Δq = 1): h(t) = (1/C)exp(-t/RC)

В моменты t1=1 и t2=2 поступили очень короткие (по сравнению со значением RC) импульсы заряда величиной A и В. То есть сигнал s(t) = q1(t)+q2(t), где q1(t) = A×δ(t-t1) и q2(t) = B× δ(t-t2). Выходной сигнал системы при известном h(t):

y(t) = T[q1(t)+q2(t)] = T[A δ(t-t1)]+T[Bδ(t-t2)] = A×T[δ(t-t1)]+B×T[δ(t-t2)] = A×h(t-t1)+B×h(t-t2).

В произвольный момент времени t после прихода на вход системы сигналов q1 и q2, например, для t = 5, для каждого из сигналов вычисляются значения их запаздывающих реакций: y1 = A×h(5-1) = A×h(4) и y2 = B×h(5-2) = B×h(3), после чего значения запаздывающих реакций суммируются у = у1+у2. В примере: А=1 и В=1.

t1 = t-t1 и t2 = t-t2, y1 = A×h(t1) = A×h(t-t1) и y2 = B×h(t2) = B×h(t-t2)

Д ля составления математических алгоритмов вычислений более удобно:

В цифровых системах для произвольной точки ki: