Контрольные работы / 3

2

УДК 51 (075)

ББК 22.1 К 17

Калачёв Н.В., Липагина Л.В., Орлова М.Г. Математика. Учебно-

методический материал для подготовки домашних контрольных заданий по линейной алгебре с элементами аналитической геометрии и линейному программированию для студентов очной и очно-заочной форм обучения.

Части I и II. М.: ФА, каф. «М и ФП», 2005. 71с.

Рецензент: доц. кафедры «М. и ФП», к. ф.-м. н. О.Е. Орел.

Представлено 30 вариантов домашних контрольных заданий для студентов I курса очной и очно-заочной форм обучения по линейной алгебре: «Системы линейных уравнений и линейные пространства», «Матрицы и линейные преобразования» (часть I), по аналитической геометрии: «Прямые и плоскости, кривые и поверхности в пространстве» и по линейному программированию: «Задачи линейного программирования» (часть II). По сравнению с предыдущим изданием (2003 года) несколько однотипных заданий были опущены, были убраны задания, требующие длительных вычислений, а также по просьбе рецензента добавлены вторые варианты решений для некоторых задач. Каждое задание содержит от 4 до 10 упражнений. В конце каждой контрольной приводится подробное решение последнего (30) варианта.

Авторы: Калачев Николай Валентинович, доцент кафедры «М и ФП», кандидат физ.-мат. наук, Липагина Лариса Владимировна, доцент кафедры «М и ФП», кандидат физ.-мат. наук, Орлова Мария Георгиевна, доцент кафедры «М и ФП».

Отпечатано в Финансовой академии при Правительстве РФ

125468, г. Москва, Ленинградский просп., 49

Полное или частичное воспроизведение или размножение каким-либо способом настоящего издания допускается только с письменного разрешения Финансовой академии при Правительстве РФ.

©Финансовая академия при Правительстве РФ, 2005 год

©Калачёв Николай Валентинович, Липагина Лариса Владимировна, Орлова Мария Георгиевна, 2005 год

3

Контрольная работа № 3

Прямые и плоскости, кривые и поверхности в пространстве

Задание 1

Составить общее уравнение прямой,

а) содержащей точку A и перпендикулярной к прямой, проходящей через точки B и C ;

б) содержащей точку A и параллельной прямой l .

Задание 2

Найти площадь квадрата, стороны которого лежат на прямых l1 и l2 .

Задание 3

Найти точку, симметричную точке A относительно прямой, содержащей точки B и C .

Задание 4

Составить общее уравнение плоскости

а) содержащей точку A и перпендикулярной к прямой, проходящей через точки B и C ;

б) содержащей прямую l и параллельной прямой m.

Задание 5

Составить канонические уравнения прямой, содержащей точку A и перпендикулярной к прямой l .

Задание 6

Найти проекцию точки A на плоскость, содержащую точки B , C и D .

Задание 7

Найти область решений системы линейных неравенств графическим способом.

4

Задание 8

Найти угловые точки выпуклого множества, заданного системой линейных ограничений.

Задание 9

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить вид кривой.

Задание 10

Квадратичная форма задана матрицей A.

Найти матрицу линейного оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.

Является ли эта квадратичная форма знакоопределенной?

Вариант 1

5

9.а) 9x2 +36 y2 −90x +144 y + 45 = 0;

б) 5x2 +8xy +5y2 −9 = 0.

Вариант 2

2. l1 : 6x −7 y +1 = 0, l2 : 6x −7 y −6 = 0.

3.A(1; 3), B(1; 9), C(2;−1).

4.а) A(2;−5;−2), B(−2; 0;−2),C(2; 5; 0);

6

6. A(1; 0;−1; 0), B(0;−8; 0;1), C(4; 0; 0;1), D(0; 0;−4;1).

Вариант 3

7

Вариант 4

9. а) 25x2 −16 y2 −50x −288 y −1271 = 0;

2. l1 : 6x −5y +8 = 0, l2 : 6x −5y −48 = 0 .

3.A(1; 3), B(3; 9), C(2;−3).

4.а) A(5;−1;−1), B(−5; 0;−1),C(5;1; 0);

9

5x1 +2x2 ≥19,

8. а) 10x1 − x2 ≤ 28,

5x1 −3x2 ≥ −16,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0;

2. l1 : 2x −4 y +1 = 0, l2 : 2x −4 y −6 = 0 .

10

3.A(2; 2), B(3; 6), C(4;−3).

4.а) A(−1;−4;−3), B(1; 0;−3),C(−1; 4; 0);

5.A(1; 0;1), l : x 2−1 = y−+21 = z.

6.A(1; 0;−1; 0), B(0;−4; 0;1), C(2; 0; 0;1), D(0; 0;−2;1).

2x1 +2x2 ≥12,

8. а) 5x1 − x2 ≥18,

3x1 −3x2 ≤ −6,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0;