Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Контрольные работы / 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

706.59 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Финансовая академия при Правительстве РФ

Кафедра «Математики и финансовых приложений»

ОБСУЖДЕНО	УТВЕРЖДАЮ
Протокол заседания кафедры	Первый проректор ФА
№ 7 от 09.02.2005 г.	М.А. Эскиндаров
Зав. кафедрой	М.А. Эскиндаров
_______________ И.Г. Шандра	20.04.2005 г.

Н.В. Калачёв Л.В. Липагина М.Г. Орлова

Математика

Учебно-методический материал для подготовки домашних контрольных заданий по линейной алгебре с элементами аналитической геометрии и линейному программированию

Часть I

Москва 2005

УДК 51 (075)

ББК 22.1 К 17

Калачёв Н.В., Липагина Л.В., Орлова М.Г. Математика. Учебно-методический материал для подготовки домашних контрольных заданий по линейной алгебре с элементами аналитической геометрии и линейному программированию для студентов очной и очно-заочной форм обучения. Части I и II. М.: ФА, каф. «М и ФП», 2005. 77 с.

Рецензент: доц. кафедры «М. и ФП», к. ф.-м. н. О.Е. Орел.

Представлено 30 вариантов домашних контрольных заданий для студентов I курса очной и очно-заочной форм обучения по линейной алгебре: «Системы линейных уравнений и линейные пространства», «Матрицы и линейные преобразования» (часть I), по аналитической геометрии: «Прямые и плоскости, кривые и поверхности в пространстве» и по линейному программированию: «Задачи линейного программирования» (часть II). По сравнению с предыдущим изданием (2003 года) несколько однотипных заданий были опущены, были убраны задания, требующие длительных вычислений, а также по просьбе рецензента добавлены вторые варианты решений для некоторых задач. Каждое задание содержит от 4 до 10 упражнений. В конце каждой контрольной приводится подробное решение последнего (30) варианта.

Авторы: Калачев Николай Валентинович, доцент кафедры «М и ФП»,

кандидат физ.-мат. наук, Липагина Лариса Владимировна, доцент кафедры «М и ФП», кандидат физ.-мат. наук, Орлова Мария Георгиевна, доцент кафедры «М и ФП».

	Учебно-методический материал
Н.В. Калачёв	Л.В. Липагина	М.Г. Орлова
	Математика.
Компьютерный набор и верстка		Н.В. Калачёв
Формат 60х90/16. Гарнитура Times New Roman

Усл. п.л. 4,75. Часть I. Изд. № 9.9-2005 Тираж 150 экз. Заказ № _________

(№ управления реализации: 105028)

Отпечатано в Финансовой академии при Правительстве РФ

125468, г. Москва, Ленинградский просп., 49

Полное или частичное воспроизведение или размножение каким-либо способом настоящего издания допускается только с письменного разрешения Финансовой академии при Правительстве РФ.

©Финансовая академия при Правительстве РФ, 2005 год

©Калачёв Николай Валентинович, Липагина Лариса Владимировна, Орлова Мария Георгиевна, 2005 год

Контрольная работа № 1

Системы линейных уравнений и линейные пространства

Задание 1

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Задание 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. В ответе указать базисное решение.

Задание 3

Решить систему линейных уравнений с параметром λ. В ответе указать, при каких значениях λ система уравнений несовместна, при каких - имеет единственное решение (указать его) и при каких - имеет бесконечно много решений (указать общее решение).

Задание 4

Является ли линейным подпространством в R3 множество векторов xr = (x1, x2 , x3 ) , удовлетворяющих данному условию?

Задание 5

Из системы столбцов данной матрицы A выделить максимальную линейно независимую систему столбцов и представить остальные столбцы в виде линейной комбинации выделенных.

Задание 6

Найти значения параметра λ, при которых векторы образуют базис пространства R4 .

Задание 7

Найти размерность пространства решений и фундаментальный набор решений системы однородных линейных уравнений.

Задание 8

Дополнить систему векторов до ортогонального базиса пространства R3 и в полученном базисе найти координаты вектора xr = (x1, x2 , x3 ) .

				Вариант 1
		x	+ 3x	+ 6x = 40,
		1	2	3
1.	3x1 +10 x2 +19x3 =130,
	2x		+3x	+10x =55;
		1	2	3
		x1 +2x2 −5x3 + x4 =1,
2. 2x1 +5x2 −12x3 −3x4 = −4,
			+8x2	−18x3 − x4 = −4.
	3x1		+8x2	−18x3 − x4 = −4.

		x −2x		+ x	−2x	=1,
		1	2	3	4
3.	3x1 −5x2 + 4x3 − x4					=17,
	2x1 −7x2 +				x4 = 21,
	−9x +19x −				9x +λx				= −56.
			1	2	3		4
4. а) V ={xr R3 \| 2x − x							2		+ 4x			3	= 0};
					1		2					3
	б) W ={xr R3 \| −x +3x									2	− x		3	≤ −1}.
				−5	1					2			3
			1	−5	7		−7
			−5	26	−36			36
5.			−5	26	−36			36
5.	A =		−3	1	−7				7		.
			−3	1	−7				7
			2	1	3		−3
			2	1	3		−3

ar1

6.ar2 a3 ar4

=(1; 1;−1; 1),

=(1; λ; 2; 1),

=(0; 1−λ; λ −4; 0),

=(3; 2λ +1; 3; 5).

	3x		−	x	2		+ 3x		+ 2x	4	+ 5x		= 0,
		1			2			3		4		5
7.	5x1		− 3x2				+ 2x3		+ 3x4		+ 4x5		= 0,
		x	− 3x			2	− 5x				− 7x		= 0,
		1				2		3				5
	7x		− 5x			2	+	x	+ 4x	4	+	x	= 0.
		1				2		3		4		5
8.	ar = (3; 0;1), b = (2;2; −6); x = (−1;−2;−1).

Вариант 2

x1 −2x2 − x3 = −6,

1.3x1 −5 x2 −4x3 = −14,− x1 + 4x2 =13;

	x1 + x2 + x3 + x4 = 4,
2. − x1				− 2x3						= −5,
	− 2x			−3x		2	− 2x		4	= −1.
		1
	x +		3x		−	2 x		+6x			=12,
	1			2			3			4
3.	2x1 +7x2 + x3 +13x4 =9,
		+5x2			−2x3			+9x4			=15,
	x1
	− x		− x		+		λx	−3x			= −9.
		1		2			3			4

4.а) V ={xr R3 | 3x1 + x2 −2x3 = 0};

б) W ={xr R3 | x1 −2x2 + x3 = −2}.

		1	2
		−3	−5
5.
	A =	−2	−2

		−4	5

1= (1; 1;−1; 1),

6.arr2 =((1; λ; 2; 1), a3 = 0; 1−λ; λ − ar4 = (3; 2λ +1; 3;a

−2	2
4	−4

0	0	.

−18	18

5; 0), 5).

		− x	+	3x		2	+	3x
		1				2		3
7.		6x1	+ 2x2				+ 2x3
7.		− x	+	x			+	x
		− x	+	x	2		+	x
		1			2			3
	11x		+	3x		2	+	3x
		1				2		3
8.	a = (2;1;1), b = (3;−2;−4);

+	4x4	+	5x5	=	0,
+	x4			=	0,
+	2x4	+	3x5	=	0,
+	x4	−	x5	=	0.

x = (−1;2;3).

Вариант 3

x1 − x2		= −7,
1. x1 −		x3 = −3,
x	+ x	− x =1;
1	2	3

x1 −2x2 + x3 − x4 = 9,

2.−2x1 +5x2 −4x3 −3x4 = −4,x1 −4x2 +6x3 +3x4 = −2.

		x + 2x −3 x +5x			4	=	2,
		1	2	3	4
3.	2x1 +12x2 −28x3 +λx4						= 62,
3.
	−2x1 − x2 −2x3 + 2x4 =5,
		2x	+5x	−9x −2x		= 24.
		1	2	3	4
4.	а) V ={xr R3 \| −x +5x						2	+ 2x	3	= 0};
				1			2		3

б) W ={xr R3 | 2x1 − x2 +3x3 ≥ −3}.

		1	2	−5	−4
		−3	−5	13	11
5.
	A =	−4	5	−6	3	.

		1	4	−9	−6

ar1

6.ar2 a3 ar4

=(1; 1;−1; 1),

=(1; λ; 2; 1),

=(0; 1−λ; λ −6; 0),

=(3; 2λ +1; 3; 5).

	x		+ x	2		− 3x			−	x	= 0,
		1				3				5
7.	x1		− x2			+ 2x3	− x4				= 0,
		4x	− 2x			+ 6x	+ 3x		−	4x	=	0,
					2			4
		1				3				5
	2x		+ 4x		2	− 2x	+ 4x	4	−	7x	=	0.
		1				3				5
8.	ar = (1; 3;1), b = (−1;2;−5); x = (−1;1;1).

Вариант 4

1.−−

2.−−

−

3.−

−

x1 − x2 − x3 =3,

2x1 +3 x2 + x3 = −4, 3x1 + x2 +6x3 = −13;

x1 −2x2 −5x3 − x4 = −2, 3x1 +7x2 +17x3 −2x4 = 7, 2x1 + x2 +5x3 −2x4 = 0. x1 −3x2 + 2 x3 + 2x4 = −6, 3x1 +10x2 −7x3 − x4 =9, 2x1 +8x2 −5x3 + x4 = 24,

5x1 +18x2 −12x3 +λx4 =51.

4. а) V ={xr R3 \| 3x + x									2	+ 2x			3		= 0};
							1		2				3
	б) W ={xr R3 \| 4x − x										2	− x		3	= −4}.
							1				2			3
			1	2	−4		−4
			0	1	−1		−1
5.			0	1	−1		−1
5.	A =		2	3	−7		−7	.
			2	3	−7		−7
			0	0		0	0
			0	0		0	0
	a1 = (1; 1;−1; 1),
	r	= (1; λ; 2; 1),
6.	ar2	= (1; λ; 2; 1),					−7; 0),
	a = (0; 1−λ; λ						−7; 0),
	3
	ar4 = (3; 2λ +1; 3; 5).
	x			+ 2x		2	+ 3x					− 2x				4	+ x		= 0,
		1				2			3							4	5
7.	3x1			+ 6x2			+ 5x3					− 4x4					+ 3x5		= 0,
7.		x		+ 2x			+ 7x					− 4x					+ 5x		=	0,
		x		+ 2x		2	+ 7x					− 4x				4	+ 5x		=	0,
		1				2			3							4	5
	2x			+ 4x		2	+ 2x					− 3x				4	+ 3x	= 0.
		1				2			3							4	5

8. a = (−1; 2;1), b = (1;−1; 3); x = (−1;−3;−3).

Вариант 5

x1 − x2 −4x3 =3, 1. x1 − 2x3 =1,2x1 + x2 − x3 = −2;

x1 + 2x2 −5x3 +3x4 = −4,

2.3x1 +7x2 −18x3 + x4 = −26,2x1 +3x2 −6x3 = −5.

		x + 2x +5 x +			3x	=14,
		1	2	3	4
3.	3x1 +7x2 +18x3 + 4x4					= 42,
	− x1 −4x2 −10x3 −5x4					= −24,
		4x	+9x	+ 23x	+λx =56.
		1	2	3		4
4. а) V ={xr R3 \| −2x −3x							2	+ x	3	= 0};
					1		2		3

	б) W ={xr R3 \| x −5x								2	+ 4x	3	= −5}.
							1		2		3
				1	1		0	−3
				−5	−4		−1	13
5.				−5	−4		−1	13
5.	A =			2	2		0	−6		.
				2	2		0	−6
				−2	2		−4	−2
				−2	2		−4	−2
	a1 =		(1; 1;−1; 1),
	r		(1; λ; 2; 1),
6.	ar2 =		(1; λ; 2; 1),
	a	=	(0; 1−λ; λ −8; 0),
	3
	ar4 =		(3; 2λ +1; 3; 5).
	9x			+ 7x		2	+ 5x			+ 6x			4	+ 9x	=	0,
		1				2		3					4	5
7. 8x1				+ 4x2			+ x3			+ 2x4				+ 3x5	= 0,
	5x1			+ 3x2			+ x3			+ 2x4				+ 3x5	= 0,
	7x			+ 5x		2	+ 3x			+ 4x			4	+ 6x	=	0.
		1				2		3					4	5
8. ar		= (3;−3;1), b = (−1;−2;−3); x = (2;−2;2).

Вариант 6

x1 −2x2 +3x3 = 23,

1.−3x1 +7 x2 −11x3 = −82,

3x2 +6x3x1 − = 41;

		x1 +3x2 +5x3 −3x4 = 0,
2.		x1 +4x2 +6x3 +2x4 =1,
	− x		−5x	2	−6x +2x = −3.
		1		2			3	4
		x	+ x	+x			+ 2x	= −5,
		1	2			3	4
3.	− x1 + 2x3 +						x4 = −3,
3.						−5x3 −8x4			= 21,
	−3x1 −4x2					−5x3 −8x4			= 21,
	−2x −3x					+	λx −	6x	=16.
			1		2		3	4
4. а) V ={xr R3 \| 3x + 2x										2	− x		3	= 0};
							1			2			3
	б) W ={xr R3 \| −2x +3x											2	+5x		3	≤ −6}.
								1				2			3

				1	−1		0	4
				4	−3		−1	14
5.				4	−3		−1	14
5.	A =			1	−3		2	8	.
				1	−3		2	8
				−4	−5		9	2
				−4	−5		9	2
	a1 =		(1; 1;−1; 1),
	r		(1; λ; 2; 1),
6.	ar2	=	(1; λ; 2; 1),
	a =		(0; 1−λ; λ −9; 0),
	3
	ar4 =		(3; 2λ +1; 3; 5).
	x			−	4x	2	−	4x
		1				2		3
7.	x1			+ 7x2			+ 6x3
7.				+ 8x2			+ 4x3
	9x1			+ 8x2			+ 4x3
	7x			+	5x	2	+	2x
		1				2		3
8.	a = (1;−3;1), b = (0;1; 3);

+	x4	−	3x5	=	0,
−	2x4	+	6x5	=	0,
−	3x4	+	9x5	=	0,
−	2x4	+	6x5	=	0.

x = (2;−3;2).

Вариант 7

x1 +3x2 −7x3 = −10,

1.x1 + 4 x2 −10x3 = −12,− x1 −5x2 +14x3 =14;

		x1 + 2x2 +3x3									= 4,
2. 2x1 +5x2 +8x3 − x4 =9,
	−2x		−3x		−3x −3x								= −12.
		1		2					3			4
		x1 + x2							− x4 = 8,
	− 2x		− x	2	− x			3	− x		4	= −9,
3.		1		2				3			4
3.
	3x1 + 6x2 − 2x3 −3x4 = 29,
	− 4x		−12x			2	+		6x	3	+ λx				4	= −56.
		1				2				3					4
4. а) V ={xr R3 \| −x − x													2		+ 4x		3		= 0};
									1				2				3
	б) W ={xr R3 \| 5x + x													2	−2x			3	≥ −7}.
										1				2				3

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Контрольные работы

#
02.05.2014706.59 Кб861.pdf
#
02.05.2014427.87 Кб522.pdf
#
02.05.2014659.23 Кб433.pdf
#
02.05.2014421.64 Кб404.pdf