Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Контрольные работы / 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

706.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

				1	1			1	4
				−5	−4			−3
5.	A =			−5	−4			−3	−18
5.	A =			5	4			3	18	.
				5	4			3	18
				4	−5			−14	−2
				4	−5			−14	−2
	a1 = (3; 1;−1; 1),
	r		= (1; λ −2; 2; 1),
6.	ar2		= (1; λ −2; 2; 1),
	a3		= (2; 3 −λ; λ −10; 0),
	ar4 = (5; 2λ −3; 3; 5).
	2x			+	x	2		− 3x		− 7x	4	− x	= 0,
			1			2			3		4	5
7.	3x1 +				2x2			− 2x3		− 9x4		− x5	= 0,
7.		2x		+	3x			+ x		− 5x		+ 2x	=	0,
		2x		+	3x		2	+ x		− 5x	4	+ 2x	=	0,
			1				2		3		4	5
	3x			+	x	2		− x		− 8x	4	− 3x	= 0.
			1			2			3		4	5

8. a = (−2;−3;1), b = (2;−1;1); x = (−1;−3;1).

Вариант 28

x1 + 2x2 −5x3 = −3,

1.2x1 +5 x2 −11x3 = −7,−3x1 −5x2 +15x3 =9;

x1 −3x2 −8x3 + x4 = −10,

2.− x1 + 4x2 +10x3 +3x4 = 25,

2x1 −5x2 −13x3 −2x4 = −28.

x1 + x2 −x3 + 4x4 = 4,

3.− x1 − 2x3 −5x4 = 2,−3x1 −4x2 + 7x3 − x4 = −11,− x1 −3x2 +8x3 + λx4 = −9.

4.а) V ={xr R3 | −x1 +3x2 −2x3 = 0};

б) W ={xr R3 | 2x1 − x2 + 4x3 =13}.

				1	−4			7	6
				4	−15			26	23
5.				4	−15			26	23
5.	A =									.
				−5	1			3	−11
				3	−2			1	8
				3	−2			1	8
	a1 = (3; 1;−1; 1),
	r		= (1; λ −2; 2; 1),
6.	ar2		= (1; λ −2; 2; 1),
	a3		= (2; 3 −λ; λ −11; 0),
	ar4 = (5; 2λ −3; 3; 5).
	x			+ 2x		2		−	x	− 2x	4	− 3x	= 0,
			1			2			3		4	5
7.	3x1			− 3x2				+	2x3	+ 4x4		− 6x5	= 0,
7.		3x		− 12x				+	x			+ 3x	= 0,
		3x		− 12x			2	+	x			+ 3x	= 0,
			1				2		3			5
	7x			+ 11x			2	+	2x	+ 2x	4		= 0.
			1				2		3		4

8. a = (−3;1;1), b = (1;−1; 4); x = (0; 3;−1).

Вариант 29

x1 + 2x2 +83 = 27,

1.− x1 − x2 −5x3 = −17,−3x1 −7x2 −26x3 = −89;

x1 −3x2 −2x3 + 2x4 =13,

2.− x1 + 4x2 +3x3 +3x4 = −7,

4x3 −3x46x2 −x1 − =14.

x1 − x2 +2x3 +3x4 = −2,

3.−8x1 +10x2 −16x3 +λx4 = −44,x1 −3x2 + x3 = 6,

+7x3 −3x1 − 2x42x2 =16.

4. а) V ={xr R3 | 2x1 +3x2 −5x3 = 0}; б) W ={xr R3 | x1 + 2x2 − x3 ≥14}.

					1	5			−12	−7
					−3	−14			34	20
5.	A =				−3	−14			34	20
5.	A =				0	2			−4	−2	.
					0	2			−4	−2
					−1	0			2	2
					−1	0			2	2
	a1 = (3; 1;−1; 1),
	r		= (1; λ −2; 2; 1),
6.	ar2		= (1; λ −2; 2; 1),
	a3		= (2; 3 −λ; λ −12; 0),
	ar4 = (5; 2λ −3; 3; 5).
	x				−	x	2		− 6x	+ x		4		+ 2x	= 0,
			1				2		3			4		5
7.	x1				+	x2			+ x3	+ x4				+ 2x5 = 0,
7.		4x			+	x			− 5x	+ 3x				+ 6x	=	0,
		4x			+	x	2		− 5x	+ 3x			4	+ 6x	=	0,
			1				2		3				4	5
	2x			+		3x		2	+ 4x	+ 3x			4	+ 6x	=	0.
			1					2	3				4	5

8. a = (−2;−3;1), b = (−2;−1;−7); x = (2;−3;−1).

Вариант 30

x1 −2x2 −3x3 = 9,

1.−3x1 +7 x2 +11x3 = −36,

3x2 −2x33x1 − = −4;

x1 + 2x2 +8x3 − x4 = 7,

2.−3x1 −5x2 −21x3 + 2x4 = −17,

2x42x2 +11x3 +2x1 + = 7.

		x	+3x +3x						= 5,
		1	2		3
3.	−3x1 −8x2 −7x3 +3x4							= −13,
3.		2x	+8x	+11x		+5x			=14,
		2x	+8x	+11x		+5x			=14,
		1	2		3		4
		8x	+ 26x	2	+30x +λx						= 44.
		1		2		3			4
4. а) V ={xr R3 \| x −2x							2		+3x			3	= 0};
					1		2					3
	б) W ={xr R3 \| −x + 4x									2	−2x			3	≤15}.
						1				2				3

				1	1		4	−3
				2	3		10	−7
5.				2	3		10	−7
5.	A =			3	−2		2	−4	.
				3	−2		2	−4
				0	−1		−2	1
				0	−1		−2	1
	a1 = (4; 1;−1; 1),
	r		= (1; λ −3; 2; 1),
6.	ar2		= (1; λ −3; 2; 1),
	a3 = (3; 4 −λ; λ −3; 0),
	ar4 = (6; 2λ −5; 3; 5).
	x				− 3x	2	+ 6x			+ 3x	4		− 3x	= 0,
			1			2			3		4		5
7.	2x1				− x2		+ 3x3			+ 4x4			− x5	= 0,
7.		3x			− 4x		+ 8x			+ 7x			− 4x	=	0,
		3x			− 4x	2	+ 8x			+ 7x	4		− 4x	=	0,
			1			2			3		4		5
	4x				− 7x	2	+ 14x			+ 10x		4	− 7x	=	0.
			1			2			3			4	5

8. a = (1; 2;1), b = (3;−1;−1); x = (−3;−3;−3).

Решение варианта № 30

x1 −2x2 −3x3 =9

1−3x1 +7x2 +11x3 = −36= −42x33x1 −3x2 −

Заносим данные системы в таблицу, где векторы

ai0

−2

−3

;

Исходная

x1 =

−3 ;

x2 =

−3

−36

−21

−3

система

−3

−2

−4

−6

−3

−2

−3

−36

итерация

−9

−6

x3 =

;

a0 =

−31

−21

−2

−4

−9

−7

Последний столбец — это

итерация

−9

−6

сумма элементов по строке;

−4

−3

служит

для

контроля

−5

−4

III

вычислений, так как при

итерация

−1

вычислении его по правилу

−4

−3

"прямоугольника"

остается

x =

(−5;−1;−4)

все равно суммой "новых"

элементов по строке. Поэтому вычисления производятся по строкам. Выбираем в исходной таблице любой элемент, отличный от нуля, тем самым выбираем разрешающий столбец (в примере первый) и разрешающую строку (в примере первую). В таблице I итерация обведенный столбец становится единичным, а обведенная строка переписывается без изменения. (Если разрешающий элемент не единица, то разрешающая строка в новой таблице делится на разрешающий элемент). Остальные элементы вычисляются по правилу "прямоугольника":

aiq	aik	a	'= a		−	aiq apk	, i	— номер строки, k
apq	apk			ik
			ik			apq

— номер столбца.


Например: элемент				a33 ' (новый) вычисляется по	формуле:
a	'= a −	a31 a13	= −2 − −3 3 = 7 .
a	'= a −		= −2 − −3 3 = 7 .
33	33	a11		1
		a11		1
	Просчитав всю строку (включая сумму), проверяем,
является ли новое				значение суммой по строке.	Например,

3-я строка в I итерации: 0 +3 +7 −31 = −21. Если да, то ошибки в вычислениях нет. В таблице I итерации выбираем разрешающий элемент (отличный от нуля) так, чтобы новые разрешающие строка и столбец не повторились с уже использованными, и

аналогично	просчитываем	элементы
II итерации. Если в выбранном разрешающем столбце (строке)
окажется элемент,	равный нулю, то соответствующая строка

(столбец) переписывается без изменений.

Вычисления закончены, когда все строки были использованы в качестве разрешающих. Желательно полученный ответ проверить, подставив его в исходную систему.

x1	x2	x3	x4	ai0	Σ
1	2	8	−1	7	17
−3	−5	−21	2	−17	−44
2	2	11	2	7	24
1	2	8	−1	7	17
0	1	3	−1	4	7
0	−2	−5	4	−7	−10
1	0	2	1	−1	3
0	1	3	−1	4	7
0	0	1	2	1	4
1	0	0	−3	−3	−5
0	1	0	−7	1	−5
0	0	1	2	1	4

x				−3x			= −3
	1	x2				4	=1
		x2		−7x4			=1
		x3 + 2x4					=1
		x3 + 2x4					=1
x		= 3x		−3
	1		4
x2		=1+7x4
x		=1−		2x	4
	3				4

X общее =

= (3x4 −3;1+7x4 ;1−2x4 ; x4 )

При x4 = 0

X базисное = (−3;1;1;0).

	x	+3x		2		+3x		= 5
	1			2		3
−3x1 −8x2 −7x3 +3x4								= −13
	2x	+8x			2	+11x +5x	4	=14
	1				2	3	4
8x + 26x			2			+30x +λx	4	= 44
	1		2			3	4
	Делаем итерации до тех пор, пока
не задействовано λ.									I
На	III					итерации		надо	I
выбирать						разрешающим
элементом						(λ −4).		Если
λ ≠ 4 ,		то,				проделав		еще	II
одну		итерацию, получим

единственное решение.

III

x1	x2	x3	x4	ai0
1	3	3	0	5
−3	−8	−7	3	−13
2	8	11	5	14
8	26	30	λ	44
1	3	3	0	5
0	1	2	3	2
0	2	5	5	4
0	2	6	λ	4
1	0	−3	−9	−1
0	1	2	3	2
0	0	1	−1	0
0	0	2	λ−6	0
1	0	0	6	−1
0	1	0	5	2
0	0	1	−1	0
0	0	0	λ−4	0

					Итак, при любом λ, кроме λ = 4,
x1	x2	x3	x4	ai0	Итак, при любом λ, кроме λ = 4,
					единственное решение будет
1	0	0	6	−1	единственное решение будет
							= (−1;2;0;0)
0	1	0	5	2		X
0	1	0	5	2		X
0	0	1	−1	0
0	0	0	λ−4	0
1	0	0	0	−1
0	1	0	0	2
0	0	1	0	0
0	0	0	1	0

При λ = 4, четвертая строка вычеркивается, и последняя система выглядит так:

x			+6x		= −1
	1	x2		4	= 2	или
		x2	+5x4		= 2	или
			x3 − x4		= 0
			x3 − x4		= 0

= −1−6x

= 2 −5x4 .

= x

общее (−1 −6x4 ;2 −5x4 ; x4 ; x4 ) при x4 .

Итак: при λ ≠ 4 — единственное решение,

при λ = 4 — бесчисленное множество решений.

Случай, когда решения нет, отсутствует.

а)

Покажем, что V = {x R3

x − 2x

+ 3x

= 0}

является

линейным подпространством пространства R3 . Для этого

необходимо проверить следующие свойства:

Пусть X1 = (α1 , α2 , α3 ), где α1 − 2α2 + 3α3 = 0,

= (β1 ,β2 ,β3 ), где β1 − 2β2 + 3β3 = 0, т.е.

2 V .

I. Проверим первое свойство: X1 + X 2 = (α1 + β1,α2 + β2 ,α3 + β3 );

(α1 + β1 )− 2(α2 + β2 )+ 3(α3 + β3 )= (α1 +α2 +α3 )+ (β1 + β2 + β3 )= 0

следовательно X1 + X 2 V .

II. Проверим второе свойство: пусть X1 = (α1,α2 ,α3 ) V и λ R .

λα1 − 2λα2 + 3λα3 = λ(α1 − 2α2 + 3α3 )= 0,

следовательно, λX1 V при λR .

Поскольку R3 является линейным пространством, то V само является линейным пространством, т.к. свойства 1°-8° линейного пространства наследуются из объемлющего пространства. Итак, V есть линейное пространство.

4 б) Докажем, что W ={xr R3 | −x1 + 4x2 −2x3 ≤15} не является

линейным пространством. Для этого достаточно предъявить либо

два вектора

2 W :

1 = (α1 , α2 , α3 ), где −α1 + 4α2 − 2α3 ≤15

2 = (β1 ,β2 ,β3 ), где − β1 + 4β2 − 2β3 ≤15, сумма которых

не

принадлежит W, либо вектор

3 W и число λR такие,

что

3 W .

		39
Предъявим	второе.	Пусть		3 = (20,0,0) W ,	т.к.
			X
(− 20 + 4 0 − 2 0 = −20 ≤15).		Пусть	k = −1. Тогда		вектор

− X 3 = (20,0,0) W , поскольку (20 + 4 0 −2 0 = 20 >15).

W не является линейным пространством.

5 Методом Гаусса выделим линейно независимые векторы (см. таблицу):

a1	a2	a3	a4		1) Два линейно независимых вектора,
				в данных расчетах, например, a1 и a2
1	1	4	−3	в данных расчетах, например, a1 и a2
2	3	10	−7	1) a3 = x1a1 + x2a2
3	−2	2	−4	2) a4 = y1a1 + y2a2
0	−1	−2	1		Это		системы	уравнений
1	1	4	−3		Это		системы	уравнений
1	1	4	−3	соответственно:
0	1	2	−1		4 = x1 + x2		−3 = y1 + y2
0	−5	−10	5		4 = x1 + x2		−3 = y1 + y2
0	−5	−10	5
0			1	1)	10 = 2x1 +3x2 2) −7 = 2 y1			+3y2
0	−1	−2	1	1)	10 = 2x1 +3x2 2) −7 = 2 y1			+3y2
1	0	2	−2		2 = 3x1 −2x2		−4 = 3y1 −2 y2
0	1	2	−1			− x2		− y2
0	0	0	−1	−2 =		− x2	1 =	− y2
0	0	0	0
0	0	0	0	Решая эти системы, получим:
				Решая эти системы, получим:

x1 = 2 ; x2 = 2 и a3 = 2a1 + 2a2

y1 = −2 ; y2 = −1 и a4 = −2a1 −a2 .

a1 = (4;1;−1;1) a2 = (1;λ −3;2;1)

a3 = (3;4 −λ;λ −3;0) a4 = (6;2λ −5;3;5)

Векторы образуют базис R4 , если они линейно независимы, т.е. система:

c1a1 +c2a2 +c3a3 +c4a4 = 0

должна иметь единственное решение:

c1 = c2 = c3 = c4 = 0 .
λ ≠ 0, 26 −8λ ≠ 0,	λ ≠	13 .
3		4
При λ ≠ 0	и	λ ≠ 3,25

система векторов образует базис

R4 .

x1	x2	x3	x4	x5		0
1	−3	6	3	−3		0
2	−1	3	4	−1		0
3	−4	8	7	−4		0
4	−7	14	10	−7		0
1	−3	6	3	−3		0
0	5	−9	−2	5		0
0	5	−10	−2	5		0
0	5	−10	−2	5		0
1	9 2	−15 2	0	9 2		0
0	−5 2	9 2	1	−5 2	0
0	0	−1	0	0		0
0	0	0	0	0		0
1	9 2	0	0	9 2		0
0	−5 2	0	1	−5 2		0
0	0	1	0	0		0

c1	c2	c3	c4
4	1	3	6
1	λ −3	4 −λ	2λ−5
−1	2	λ −3	3
1	1	0	5
0	−3	3	−14
0	λ − 4	4 −λ	2λ−10
0	3	λ −3	8
1	1	0	5
0	−1	1	−14 3
0	0	0	26 −8λ 3
0	λ	2	14λ 3 −6
1	1	0	5
0	0	1	−6 λ
0	0	0	26 3 −8λ 3
0	0	0	26 3 −8λ 3
0	1	0	14 3 −6 λ
1	0	0	1 3 +6 λ

Последняя итерация может быть переписана в виде:

x		+	9	x							+		9	x	= 0
x		+	2	x							+		2	x	= 0
	1		2			2							2	5
			5										5
		−	5	x2 + x4							−		5	x5	= 0

			2										2
			2						x3				2		= 0
									x3						= 0

					9						9
x		= −			9		x			−	9	x
x		= −					x	2		−		x
	1			2				2			2		5
			5	2						5	2


x4		=			x2 +						x5
x4		=	2		x2 +					2	x5
			2							2
x		= 0
	3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Контрольные работы

#
02.05.2014706.59 Кб861.pdf
#
02.05.2014427.87 Кб522.pdf
#
02.05.2014659.23 Кб433.pdf
#
02.05.2014421.64 Кб404.pdf