Контрольные работы / 1

9

9

5

5

X

x

x ; x

x

x

; x

общее

=

−

−

;0;

+

2

2

2

2

2

5

2

2

5

5

x2

=1

9

5

= 0

a1 =

−

;1;0;

;0

2

2

x5

x2 = 0

a2

=

−

9

5

=1

;0;0;

;1

2

2

x5

подпространство Z, тогда

Zn−r = Z5−3 = Z2 R5

Z2 ={x a + x a

} — подпространство R5

2

1

5

2

dim Z = 2, размерность —2.

8 a = (1;2;1);

= (3;−1;−1);

= (−3;−3;−3)

b

X

(a,

)= 3 − 2 −1 = 0 ; a

b

b

c = (x1, x2 , x3 )

(a,c )= x1 +2x2 + x3 = 0

(

,c )= 3x

− x

− x

= 0

, тогда a c и b

c .

b

2

3

1

Решая систему, получим x2 = −4x1 ; x3

= 7x1 .

общее = (x1;−4x1;7x1 )= x1 (1;−4;7). Вектор

c = (1;−4;7) дополняет

X

a

и

до ортогонального базиса пространства R3 . Найдем

b

координаты вектора x в ортогональном базисе:

x = αa +βb + γc .

(a, x )

−3 −6 −3

−12

α = (a,a )=

1 + 4 +1

=

6

= −2;

(

, x )

−9 +3 +3

b

β = (

,

)=

9 +1 +1

= −3 11; .

b

b

γ

(c, x )

−3 +12 −21

= (c,c )

=

1 +16 + 49

= −2 11

x = −2a −

3

−

2

c .

b

11

11

3

2

— координаты в базисе {a;b ;c}.

x =

−2;−

;−

11

11

x = αa +β

+ γc

b

α = −2; β = −3 11; γ = −2 11.

α

β

γ

xi

Σ

3

2

1

3

1

−3

2

2

−1

−4

−3

−6

x = −2a −

b −

c .

11

11

1

−1

7

−3

4

3

2

1

3

1

−3

2

x = −2;−

;−

—

11

11

0

−7

−6

3

−10

координаты в базисе

0

−4

6

0

2

{a;b ;c}.

1

0

11 2

−3

7 2

0

0

−33 2

3

−27 2

0

1

−3 2

0

−1 2

1

0

0

−2

0

0

1

−2 11

0

1

0

−3 11