28.Приближенное решение уравнений в частных производных методами вариационного исчисления. Метод Ритца.

Решим задачи: - уравнение ЛапласаU/гр =U₀

- уравнение Пуассона U/гр =0

Граничные условия: U/гр =U₀(…)

(1)

=0

(2)

Берём производные:

Решаем уравнение Пуассона, причём отыскивать minэнергетич. Функционала.

Функция F – потенциальная энергия.

0<x<1 0<y<1U/гр =0

Метод Ритца (для минимализации функционалов)

n – порядковый номер

Функция Uявляется линейной комбинацией неких функций , ,…, /_гр=0,

Будем считать, что - хорошие функции, гладкие, т.е. непрерывные произв., и на границах к 0.

Мы сами выбираем функцию, а затем к ним подбираем коэффициент ??????, они являются весовыми, т.е. своя функция вносит определённый вклад. Имеем право подобрать, т.е. задача на границе, т.к. ищем min, т.е. есть какие-то условия.

Выбираем ф-и:

……………………………………………

- некая функция коэфф. А.

Необход. усл.min этой функции это равенство нулю каждой из переменных, т.е.:

pA=Q

*В матричной форме

Преимущества: *Для точности можно взять больше функций. *Сложность вычислений:

*Получаем приближение решения через простые функции (аппроксимации многочленов)

Физический смысл функционала потенц. энергия.

29.Принципы теории управления

Тео́рияуправле́ния — наука о принципах и методах управления различными системами, процессами и объектами.

Делаем малые изменения и добиваемся больших результатов.

Рассмотрим систему:корабль течет по узкому проливу

Система описывается параметрами:направлениекорабля,сила тяги двигателя,сопротивление двигателя и т.п.x= f-некая функция

F= Эта система уравнений описывает поведение технической системы в данное время

Найти наиболее эффективный переход от заданного набора равновесных параметров к желаемому: а) перейти от одного к другому параметру б) с наименьшими затратами

Управление биоценоза

Меняем фактор и смотрим как изменится система.

Биоценоз: - система дифференциальных уравнений

-взаимодействие видов

-уравнение Мальтуса

j-хищник, i-жертва если оба “-“ –симбиоз ,если оба “+“- соперничество

нет взаимодействия:

,

Решив эту систему мы находим положение равновесия:

-компоненты вектора управления u=

, -численность популяции

Внешнее воздействие прямо-пропорционально численности популяции

N=

Каким должно быть управление?

Если

Тривиальное решение нас не интересует

Рассмотрим конкретную задачу(борьба с колорадским жуком)

Привозим на поле воду и удобрения:

-скорость изменения количества ресурса; - ресурс потребляется картофелем; - картошка растет по экспоненте; - количество картофеля уменьшается во взаимодействии с колорадским жуком; - нет картошки и колорадский жук будет дохнуть;

Система не имеет тривиального решения

,

Найдем равновесную численность каждой популяции:

- без слагаемых - со слагаемыми

Как добиться max урожая картофеля с min затратами?

Составляем функционал: J=

- стоимость единицы биомассы картофеля; - стоимость затрат на внесение ресурсов с единичной скоростью; - стоимость затрат на внесение инсектицидов с единичной скоростью; - на выращивание биомассы хищника(фазан)

Должны найти экстремум (max) этого функционала,а потом определить параметры:

-физический метод -химический метод эффективней

система состоит из уравнений,разрешенных относительно производных

=0

=0 система алгебраических уравнений 2 порядка,т.к произведение уравнений

=0

Тривиальное решение имеют только однородные уравнения !!!( а первое уравнение в системе неоднородное след-но нетривиальное решение)

⇒каждая равновесная численность должна быть неотрицательной.