5)Понятие об обобщённых функциях.
-
функция f(x)
является достаточно хорошей. Дельта
функция самостоятельного смысла не
имеет.
Пусть основные функции f имеют непрерывные производные всех порядков. Будем считать, что эти функции финитные , т.е. =0 некоторой ограниченной области.
Пусть задан некоторый линейный функционал [f], который всякой основной функции ϕ(х) ставит некоторое вещественное число (f,ϕ) и выполняются следующие условия:
(f,
α
– свойство линейности. α,β- вещественные
функции.
=const.
1)Функционал обладает свойствами линейности.
2)Свойства
непрерывности.
Локальные свойства:
Обобщённая
функция не имеет значений в отдельных
точках, а можно говорить в окрестности
точки.
(
Обобщённая
функция называется регулярной в некоторой
области, если в этой области она совпадает
с некоторой локально интегрируемой
функцией. Если область вне
т.е.
Основные свойства обобщённых функций:
1)Сложение.
2)
Умножение на число.
3)Свойство сдвига.(Uf,ϕ)=[f,ϕ(x+h)]; где ux=x+h; u- некоторая функция х.
4) Свойство отражения.(f,(-x),ϕ)=(f,ϕ(-x));
5)Подобие.(uf,ϕ)=(f,ϕ(α,x));
6.Дискретное логическое уравнение и его решения при различных значениях параметра.
Логистическое уравнение, также известное, как уравнение Ферхюльста (по имени впервые сформулировавшего его бельгийского математика), изначально появилось при рассмотрении модели роста численности населения.
Исходные предположения для вывода уравнения при рассмотрении популяционной динамики выглядят следующим образом:
скорость размножения популяции пропорциональна её текущей численности, при прочих равных условиях
скорость размножения популяции пропорциональна количеству доступных ресурсов, при прочих равных условиях. Таким образом, второй член уравнения отражает конкуренцию за ресурсы, которая ограничивает рост популяции.
Решим дифференциальное уравнение:
y’’+ay’+by=0
характер.уравнение:
;
⟹
возьмём x=x(t)
=0
Построим x=x(t), y=y(t).
Рассмотрим нелинейную систему: Параметрический график функции x=x(t), y=y(t)
если:
x=
+
;
y=
если:
x=
РИС.
если
РИС. (седло, неустойчивость)
если
x=
);
p<0;
РИС. (устойчивый фокус ) нарисовать
спираль (стрелками стремиться в центр)
если
х=
РИС. (центр, устойчивость по Ляпунову)
(нарисовать круг с точкой посредине)
Рассмотрим нелинейные системы.
Наложим
равновесие:x=
где
Два объекта называются топологическими элементами, если одну из них можно перевести в другую путём неприрывнойдефорации.
Значение параметра λ называется обыкновенным, если в некоторой его окрестности топологическая структура фазовой траектории остаётся неизменной. В противоположном случае значение параметра называется бифуркационным. РИС ( рисунок в виде буквы е)
7.Понятие о детерминированном хаосе. Странный аттрактор.
1) Отображение Ферхюльста: (РИС)
Уравнение
Мальтуса:
N
– численность популяции.к – ёмкость
популяции, т.е. то количество особей,
которые могут прокормиться на данной
территории.
Уравнение
Ферхюльста:
РИС
Допустим, у
нас есть строгое число: 0<r<1;
0<
;
r
– фиксированное, х - заданное.
r=0,1;
Если 0,25
<r<0,75; x=
Практическое заключение
Если практическое значение r при превышении, которого движение непредсказуемое. (РИС)
Детерминированный хаос - это нерегулярное движение, описываемое детерминированными уравнениями (дифференциальными либо разностными уравнениями) 0 <r<0,75;
;
Равновесие:
=4r
->
0<
Система
находится в положении равновесия:
,
- равновесие.
|
df=f’dx;
Устойчиво:
<1;
Неустойчиво:
>1;
Устойчиво:
<1;
f
)=4r-8
r
1 положение
равновесия:
->f’
2положение
равновесия:
|4r-8r(1-
r)|<1;
|-4r+2|<1;
а) -4r+2<1; б) -4r-2<1;
-4r+2<1; 4r<3;
r>
r<
;
;
(РИС)
Фейгенбаум.
– Бифуркационное значение.
– критическое. А – зависит от конкретной
формы.
- странный аттрактор.
Стронный аттрактор занимает ограниченную область фазового пространства, т.е. все фазовые траектории, лежащие на данном пространстве. Стронный аттрактор имеет структурную устойчивость. Малое изменение ДУ приводят к непрерывному изменению аттрактора.
Аттрактор называется странным, потому что его поведение зависит от начальных условий т.е. при малых изменениях начальных условий он изменяется непредсказуемо.
1)Маятник с возбуждением. 2)Жидкость вблизи порога, возникновение турбулентности.
3)Мощные лазерные поля. 4)Некоторые химические реакции. 5) Стимулирование клеток сердца.
Причина хаоса: начальные значения задаются с конечной точностью, а ошибка будет нарастать бесконечно.