11.Фракталы. Фрактальная размерность.
Фрактал — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, строго большую топологической.Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.
Начнём
с элементарной задачи: M=
d-размеры
пространства. 2я задача найти массу
частицы: m=
т.е. M=
;
Если
запустить в кубике жука, то M<
⟹M=
;
df<3
И положим, что с ростом размера, плотность изменится.
Рассмотрим кривую Кохха: (РИС).Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха. Само подобие - уменьшенная копия целого. (РИС)
(РИС)
Кривая не самопересекающаяся.длинна
бесконечно велика, занимает конечную
область пространства. Докажем, что есть
отрезок единичной длинны, количеством
N.
В нашем случае:
ln
=lnN;
df=
Кривая
Кохха: размер: N=4;
df=
Построим
квадрат. Кривую Кохха (РИС)
n=5;
df=
Точно измерить величину рёбер Великобритании или Норвегии нельзя. Примеры само подобия: листок, дерево, гроза. Дробная размерность. Моментально распространить их не просто.
Французский
учёный Жулана в 1919г. предположил:
Берём начальную точку
(РИС)
=const.
-
комплексные числа.
Француз
Мольдийрот предложил, слово фрактал:
– фиксированное.
Оказалось, что эта структура обозначена различными интересными словами. Пример: Трещины в потолке – овраг. Простейшие полярные модели: модель Мальтуса, модель Ферхюльста и модель Вольтера-Лотка( модель хищник- жертва).
12. Модель Мальтуса.
Модель
Мальтуса (линейная модель)
N–
численность популяции.
Можно записать ДУ дисперсной функции(неприрывной), если значение этой функции достаточно, отличается от 1. Скорость распространения популяции прямопропорциональна численности в данный момент. ( РИС)
Решением этого уравнения является экспоненциальная функция x(t) = x0eαt. Если рождаемость превосходит смертность (α > 0), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста.