36. Ньютоновский потенциал.

Сфера –эквипотенциальная поверхность. Ни , ни не входят в граничные условия => решение от них тоже не зависит. Имеет центральную симметричную поверхность, если она эквипотенциальна => U=U(R). В уравнении все производные по угловым координатам обращаются в 0 (простой частный случай уравнения).

-однородное, линейное уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции, а только ее производную.

Гармоническая функция (свойства):

1. Удовлетворяет в некоторой области уравнению Лапласа.

2. Ограничена в этой области (не уходит на бесконечность).

3. Стремиться к нулю при перемещении на бесконечность вдоль любой кривой полностью принадлежащей области.

1. Внутренняя задача. - третье свойство отпадает.

– решение – константа, т.к. а=0, из второго требования гармонической функции.

2. Внешняя задача.

Рисунок.

График потенциала для внутренней и внешней задачи (для сферы). Внутри сферы (заряд) потенциал постоянен. Кулоновский потенциал для внешней задачи

Масса – аналог заряда.

3. R₁<r<R₂; не зависящие от координат.

Рисунок. Концентрическая сфера. Пример - сферический конденсатор. (2 проводника разделены диэлектриком).

Рисунок.

Напряженность – градиент потенциала. Тепловой поток – производная температуры по координате.

; R-радиус Земли.

на каждой широте потенциал один и тот же, но по долготе разный. От не зависит.

Задача Дирихле. Линейное, однородное уравнение => решаем методом разделения переменных.

.

r, – независимые переменные, а последнее равенство должно выполнятьсяпри любых допустимых , это возможно тогда и только тогда, когда каждое из отношений порознь равно одной и той же постоянной величине.

Уравнение Эйлера – линейное, однородное, второго порядка с переменными коэффициентами. Обыкновенное дифф. уравнение, а значит имеет 2 линейных независимых решения.

замена переменных.

n=0,1,2,…; Ф(x)=P_n(x);

РС: -полиномы Лежандра.

СО(соотношение ортогональности):

Внутренняя:

Внешняя:

-Ряд Фурье-Лежандра

37. Уравнение Лапласа в сферических координатах.

Электростатический потенциал описывается уравнением лапласа. Распределение электрического потенциала в области распределения линейное, однородное, если 2 переменных – эллиптического типа.

R=r – значение функции на границе

1 радиальная координата, 2 угловых.

1 радиан – такой центральный угол, который отрезает такую дугу в ½ радиуса.

Рисунок.

Внутренняя задача. На поверхности сферы радиуса Rзаданное значение потенциала f, когда потенциал можно найти в любой точке сферы.

38. Температурные волны в почве.

-

затухающие колебания. Функция двух переменных. Амплитуда убывает с глубиной по экспоненте. Рисунок.

Закон Фурье:

1. Амплитуда колебаний убывает экспоненциально по закону

2. Время запаздывания максимумов и минимумов температуры прямо пропорционально глубине и обратно пропорционально корню из температуры колебаний.

3. 

, тем больше проникновение в почву; глубина проникновения тепла в почву зависит от периода колебаний температуры на поверхности.