Распределение Пуассона

Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и приp –> 0 (редкие события)).

Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:

где a = n · p — параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения

P_m = C_n^m · p^m · (1 – p)^n – m

может быть написан, если положить p = a/n, в виде

или

Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m, малые по сравнению

весьма близко к единице. Это же относится к величине

Величина

очень близка к e^–a. Отсюда получаем формулу:

сn. Произведение

Пример. В ящике находится n = 100 деталей, как качественных, так и бракованных. Вероятность достать бракованное изделие составляет p = 0.01. Допустим, что мы вынимаем изделие, определяем, бракованное оно или нет, и кладем его обратно. Поступая таким образом, получилось, что из 100 изделий, которые мы перебрали, два оказались бракованными. Какова вероятность этого?

По биномиальному распределению получаем:

По распределению Пуассона получаем:

Как видно, величины получились близкими, поэтому в случае редких событий вполне допустимо применять закон Пуассона, тем более что он требует меньших вычислительных затрат.

19.простейший поток событий.

Если поток событий стационарен, ординарен и без последействий, то такой поток называется простейшим (пуассоновским) потоком.

            Это название связано с тем, что в этом случае число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, распределено по распределению Пуассона .

 

            В соответствии с этим законом распределения математическое ожидание числа точек, попавших попадающих на участок времени t, имеет вид:

l - плотность потока – среднее число событий в единицу времени.

            Вероятность того, что за время t произойдет ровно т событий, равна

            Вероятность того, что в течение данного времени не произойдет ни одного события, равна:

            Пусть Т – промежуток времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке. Найдем функцию распределения

            В соответствии с законом распределения Пуассона, получаем:

            Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны:

            Таким образом, для величины Т получили показательный закон распределения

 

            Пример. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заявок в час. Считая поток заказов простейшим, определить вероятность того, что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа, б) за 10 минут поступит не более трех заказов.

            Сначала найдем плотность (интенсивность) потока, выразив ее в количестве заявок в минуту. Очевидно, эта  величина равна  .

            Далее находим вероятность того, что за время  t = 1 мин не поступит ни одной заявки по формуле:

            Вероятность того, что за 10 минут поступит не более трех заказов будет складываться из вероятностей того, что не поступит ни одного заказа, поступит один, два или ровно три заказа.

20.математическое ожидание

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.^[1] В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через   (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской —   (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус.Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение  .